Os avaliadores ótimos são realmente ótimos?

O termo a seguir (usando índices bruijn):

BADTERM = λ((0 λλλλ((((3 λλ(((0 3) 4) (1 λλ0))) λλ(((0 4) 3) (1 0))) λ1) λλ1)) λλλ(2 (2 (2 (2 (2 (2 (2 (2 0)))))))))

Quando aplicado a um número de igreja, Navalia rapidamente a forma normal em vários avaliadores existentes, incluindo ingênuos . No entanto, se você codificar esse termo para redes de interação e avaliá-lo usando o Algoritmo Abstrato de Lamping, será necessário um número exponencial de reduções beta em relação a N. No Optlam, especificamente:

N   interactions(betas)     (BADTERM N)
1   129(72)                 λλλ(1 (2 (2 (2 (2 (2 (2 (2 0))))))))
2   437(205)                λλλ(2 (1 (2 (2 (2 (2 (2 (2 0))))))))
3   976(510)                λλλ(1 (1 (2 (2 (2 (2 (2 (2 0))))))))
4   1836(1080)              λλλ(2 (2 (1 (2 (2 (2 (2 (2 0))))))))
5   3448(2241)              λλλ(1 (2 (1 (2 (2 (2 (2 (2 0))))))))
6   6355(4537)              λλλ(2 (1 (1 (2 (2 (2 (2 (2 0))))))))
7   11888(9181)             λλλ(1 (1 (1 (2 (2 (2 (2 (2 0))))))))
8   22590(18388)            λλλ(2 (2 (2 (1 (2 (2 (2 (2 0))))))))
9   43833(36830)            λλλ(1 (2 (2 (1 (2 (2 (2 (2 0))))))))
10  85799(73666)            λλλ(2 (1 (2 (1 (2 (2 (2 (2 0))))))))
11  169287(147420)          λλλ(1 (1 (2 (1 (2 (2 (2 (2 0))))))))
12  335692(294885)          λλλ(2 (2 (1 (1 (2 (2 (2 (2 0))))))))
13  668091(589821)          λλλ(1 (2 (1 (1 (2 (2 (2 (2 0))))))))
14  1332241(1179619)        λλλ(2 (1 (1 (1 (2 (2 (2 (2 0))))))))
15  2659977(2359329)        λλλ(1 (1 (1 (1 (2 (2 (2 (2 0))))))))

Em avaliadores semelhantes, como o BOHM, são necessárias muito menos etapas beta, mas mais interações. Se os avaliadores ótimos são ótimos, como eles podem avaliar termos assintoticamente mais lentos que os avaliadores existentes?

Esse link tem uma explicação sobre a origem do termo, bem como uma implementação da mesma função que se comporta de maneira oposta, de maneira quase bizarra: deve ser executado em tempo exponencial - é executado em tempo exponencial na maioria dos avaliadores - ainda assim, ideal avaliadores normalizam em tempo linear!

Eficiência do optlam

Não estudei os detalhes do BADTERM nem da implementação do avaliador do optlam, mas acho bastante estranho que o optlam realize várias interações ß drasticamente diferentes de outro avaliador ideal como o BOHM. Esse número deve ser, por definição, basicamente o mesmo em um determinado termo. Você tem certeza da correção do núcleo do optlam?

Eficiência de avaliadores ótimos

Lembre-se de que a noção de otimização desses avaliadores é mais conhecida como otimização de Lévy, e não é ingênua, uma vez que uma estratégia de redução executando o número mínimo de ß-etapas não é computável. O que é minimizado, então, é o número de etapas de redução ß paralelas executadas em uma família inteira de redex, que é aproximadamente o conjunto obtido pelo fechamento simétrico e transitivo da relação que liga dois redexos quando um é copiado do outro. Em geral, não deveria surpreender ver discrepâncias entre o número de etapas ß e o restante das etapas de duplicação, pois sabemos que a maior parte da carga de normalização pode ser transferida da primeira para a segunda, como mostram Asperti, Coppola e Martini [1].

Também não deveria nos surpreender ver que o número total de interações necessárias para normalizar um termo com um avaliador ideal é menor do que com um avaliador comum, pois a observação empírica anterior já mostrava melhorias notáveis ​​no desempenho. Apesar disso, um salto de complexidade tão grande, do tempo exponencial para o tempo linear, é talvez o primeiro de seu tipo a ser descoberto. (Vou verificar isso.)

Por outro lado, os resultados teóricos sobre a eficiência da redução ótima (que é sua grande questão) ainda são poucos e ainda não gerais, pois estão limitados a redes de prova do tipo EAL (que é basicamente a mesma restrição de avaliador, se bem entendi), mas todos são levemente positivos, uma vez que, no pior dos casos, a complexidade da redução de compartilhamento é limitada pela ordinária por um fator constante [2,3].

Referências

1. A. Asperti, P. Coppola e S. Martini, (Optimal) Duplicação não é recursiva elementar , Information and Computation, vol. 193, 2004.
2. P. Baillot, P. Coppola e U. Dal Lago, Light logics e redução ótima: Completude e complexidade , Information and Computation, vol. 209, n. 2, pp. 118-142, 2011.
3. S. Guerrini, T. Leventis e M. Solieri, Profundamente otimizados - complexidade e correção do compartilhamento da implementação de lógicas limitadas , DICE 2012, Tallin, Estônia, 2012.