Como é provada a versão MA do SETH para ser falsa?

De acordo com este artigo , que discute uma extensão não determinística da Hipótese do Tempo Exponencial Forte (SETH), "[...] Williams recentemente demonstrou hipóteses relacionadas sobre a complexidade de Merlin-Arthur do k-TAUT são falsas". No entanto, esse documento cita apenas uma comunicação pessoal.

Como é provada a versão MA do SETH para ser falsa?

Suspeito que isso envolva a algebrização da fórmula, mas não tenha mais nenhuma idéia.

Você pode encontrar uma pré-impressão seguindo este link http://eccc.hpi-web.de/report/2016/002/

EDIT (1/24) Por solicitação, aqui está um resumo rápido, retirado do próprio papel, mas encobrindo muitas coisas. Suponha Merlin pode vir a Arthur que, para um $k$ -variável circuito aritmético , o seu valor em todos os pontos em { 0 , 1 } K é uma determinada mesa de 2 k elementos de campo, com o tempo sobre a ( s + 2 k ) ⋅ d , onde s é o tamanho de C e d é o grau do polinômio calculado por $C$$\{0,1\}^k$$2^k$$(s + 2^k) \cdot d$$s$$C$$d$$C$. (Chamamos isso de "prova curta e não interativa de avaliação de lotes" - avaliar em várias atribuições.)$C$

Então Merlin pode resolver o SAT para Arthur da seguinte maneira. Dado um F CNF em n variáveis ​​e cláusulas m , Merlin e Arthur primeiro constroem um circuito aritmético C em n / 2 variáveis ​​de grau no máximo m n , tamanho em torno de m n ⋅ 2 n / 2 , que soma uma soma de todas as atribuições a as primeiras n / 2 variáveis ​​do CNF F (adicionando 1 à soma quando F é verdadeiro e $\#$$F$$n$$m$$C$$n/2$$mn$$mn \cdot 2^{n/2}$$n/2$$F$$1$$F$$0$quando é falso). Usando o protocolo de avaliação lote, Merlin pode, então, comprovar que leva em 2 n / 2 valores determinados em todas as suas 2 n / 2 atribuições booleanos, em cerca de 2 N / 2 p o l y ( n , m ) tempo. Resumindo todos esses valores, temos a contagem das atribuições do SAT para F .$C$$2^{n/2}$$2^{n/2}$$2^{n/2} poly(n,m)$$F$

Agora dizemos em alto nível como fazer o protocolo de avaliação de lotes. Queremos que a prova seja uma representação sucinta do circuito $C$ que seja fácil de avaliar em todas as entradas fornecidas e também fácil de verificar com aleatoriedade. Definimos a prova como um polinômio univariado Q ( x ) definido sobre um campo de extensão suficientemente grande do campo base K (com característica de pelo menos 2 n para a nossa aplicação), em que Q ( x ) possui um grau de cerca de 2 k ⋅ d , e Q `` esboços '' a avaliação do grau$2^k$$Q(x)$$K$$2^n$$Q(x)$$2^k \cdot d$$Q$ circuito aritmético C em todas as 2 k atribuições. O polinômio Q satisfaz duas condições conflitantes:$d$$C$$2^k$$Q$

• O verificador pode usar o esboço para produzir eficientemente a tabela verdade de C . Em particular, para alguns α i explicitamente conhecidos da extensão de K , queremos ( Q ( α 0 ) , Q $Q$$C$$\alpha_i$$K$ , onde$(Q(\alpha_0), Q(\alpha_1),\ldots,Q(\alpha_K)) = (C(a_1),\ldots,C(a_{2^K}))$ é a i- ésima atribuição booleana às k variáveis ​​de C (sob alguma ordem nas atribuições).$a_i$$i$$k$$C$

• O verificador pode verificar se é uma representação fiel do comportamento de C em todas as atribuições booleanas de 2 k , em aproximadamente 2 k + s , com aleatoriedade. Isso basicamente se torna um teste de identidade polinomial univariada.$Q$$C$$2^k$$2^k + s$

A construção de usa um truque de interpolação originado das provas holográficas, em que expressões multivariadas podem ser eficientemente `` expressas '' como univariadas. Os dois itens utilizam algoritmos rápidos para manipular polinômios univariados.$Q$