Desigualdade de concentração exponencial para momentos de ordem superior de variáveis aleatórias gaussianas

Deixe ser cópias iid de Gaussian variável aleatória . Sabe-se que Esses dois resultados decorrem da desigualdade de concentração das variáveis aleatórias sub-Gaussianas e sub-exponenciais e o segundo é uma desigualdade do tipo Bernstein. Gostaria de saber se existem resultados semelhantes para os momentos mais altos das variáveis aleatórias gaussianas. Alguém pode ter $X_1,\ldots, X_n$ $n$ $X \sim N(0, \sigma^2)$

\begin{aligned} P (| \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{j} | > t) & \leq 2 \exp (c n t^{2}) and \\ P (| \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (X_{j}^{2} - E X_{j}^{2}) | > t) & \leq 2 \exp (c n min {t^{2}, t}) . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{P}\Bigl( \Bigl|\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j \Bigl| >t\Bigr) &\leq 2 \exp( cnt^2)~~\text{and}\\ \mathbb{P}\Bigl( \Bigl|\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (X_j^2 - \mathbb{E}X_j^2) \Bigl| >t\Bigr) &\leq 2 \exp( cn\min \{t^2, t\}). \end{align}$

\begin{aligned} P (| \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (X_{j}^{4} - E X_{j}^{4}) | > t) \leq 2 \exp (c n t) ? \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{P}\Bigl( \Bigl|\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (X_j^4 - \mathbb{E}X_j^4) \Bigl| >t\Bigr) \leq 2 \exp( cnt)? \end{align}$ E, geralmente, para uma variável aleatória centralizada

Y

$Y$ satisfazendo

P (| Y | > t) \leq 2 \exp (c t^{α})

$\mathbb{P}(|Y| > t) \leq 2 \exp(c t^{\alpha})$ para

α > 0

$\alpha > 0$ , podemos obter uma desigualdade exponencial para a concentração de

\sum_{i = 1}^{n} Y_{i}

$\sum_{i=1}^n Y_i$ ? Ou seja, podemos ter

\begin{aligned} P (| \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (Y_{j} - E Y_{j}) | > t) \leq 2 \exp (c n t^{β}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{P}\Bigl( \Bigl|\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (Y_j - \mathbb{E}Y_j) \Bigl| >t\Bigr) \leq 2 \exp( cnt^\beta) \end{align}$ para alguns

β > 0

$\beta > 0$ ？

pr.probability st.statistics

— Steve
fonte

Veja o Teorema 23 na Seção 9.3 do livro de Ryan O'Donnell, Análise das funções booleanas . Embora o teorema indicado para as variáveis seja válido também para os gaussianos (consulte o capítulo 10 do livro para obter detalhes sobre isso). $\pm 1$

Para uma declaração mais geral, consulte o Exercício 7 nestas anotações de Terry Tao .

— Yuval Filmus
fonte

Desculpe, a declaração anterior da pergunta não está correta. Agora eu fiz algumas correções. E o que podemos dizer para variáveis aleatórias mais gerais com algum comportamento cauda decadente?

— Steve

Sua pergunta mais geral é abordada nas notas de aula de Terry Tao.

— Yuval Filmus

Desigualdade de concentração exponencial para momentos de ordem superior de variáveis ​​aleatórias gaussianas

Desigualdade de concentração exponencial para momentos de ordem superior de variáveis aleatórias gaussianas