Decomposição de árvore para gráficos planares

Perguntado pela primeira vez em math.SE sem respostas.

1. Suponha que eu tenha um gráfico planar, com uma incorporação planar, como encontro a decomposição da árvore?
2. O que é a decomposição de árvore ideal de uma -by- grade quadrada? Não sabe ao certo como definir "ideal", mas deve distinguir entre decomposição com uma sacola grande e decomposição com muitas sacolas grandes.$d$$d$

Se o que você realmente deseja é uma boa ordem de eliminação, você pode estar procurando uma dissecção aninhada generalizada . Essa é a estratégia que explora os bons separadores de um gráfico planar para fornecer algoritmos para eliminação gaussiana, determinante, etc., para matrizes provenientes de gráficos planares.$O(n^{\omega/2})$

Para a primeira pergunta, está aberto se é possível encontrar uma decomposição em árvore para gráficos planares em tempo polinomial. O melhor algoritmo de aproximação pode ser o algoritmo RatCatcher de Seymour e Thomas, que calcula a largura de ramificação do gráfico planar, portanto, ela tem uma razão de aproximação de 1,5 pela relação entre largura de ramificação e largura de árvore.

$k \times k$

$k \times k$$k$

$k+1$$k(k-1)$

Se você não deseja uma decomposição ideal de árvore, poderá criar uma decomposição de árvore calculando recursivamente os separadores.