Encontrar a solução mais esparsa para um sistema de equações lineares

Quão difícil é encontrar a solução mais esparsa para um sistema de equações lineares?

Mais formalmente, considere o seguinte problema de decisão:

Instância: Um sistema de equações lineares com coeficientes inteiros e um número .$c$

Pergunta: Existe uma solução para o sistema com pelo menos variáveis ​​atribuídas a zero?$c$

Também estou tentando determinar em que consiste a dependência . Ou seja, talvez o problema seja o FPT com o parâmetro c .$c$$c$

Todas as idéias ou referências são realmente apreciadas.

Considere o problema de maximizar o número de equações lineares satisfeitas sobre algum anel R , que geralmente é NP-difícil, por exemplo, no caso R = $\text{MAX-LIN}(R)$$R$$R=\mathbb{Z}$

Tome uma instância desse problema, onde A é uma matriz n × m . Seja k = m + 1 . Construa um novo sistema linear ˜ A ˜ x = ˜ b , onde ˜ A é uma matriz k n × ( k n + m ) , ˜ x agora é um vetor dimensional ( k n + m ) , e ˜ $Ax=b$$A$$n\times m$$k=m+1$$\tilde{A}\tilde{x} = \tilde{b}$$\tilde{A}$$kn \times (kn+m)$$\tilde{x}$$(kn+m)$$\tilde{b}$é um vetor dimensional :$kn$

em queInrepresenta onxnmatriz identidade.

Note-se que este sistema é sempre satisfeita pelo vector . Na verdade, os primeiros m entradas de ~ x pode ser arbitrária, e há algum vector da solução com que prefixo.$\tilde{x} = \begin{pmatrix} 0 & b & b & \cdots & b \end{pmatrix}^T$$m$$\tilde{x}$

Eu agora afirmar que fracção de equações de A x = b são sse satisfatível existe um escasso solução de ~ A ~ x = ~ b , que tem, pelo menos, ô n k zeros. Isso ocorre porque toda linha satisfeita de A x = b produz k zeros em potencial quando x é estendido para ˜ $\delta$$Ax=b$$\tilde{A}\tilde{x}=\tilde{b}$$\delta nk$$Ax=b$$k$$x$$\tilde{x}$

Assim, se encontrar a dispersão da solução sparsest para , temos também maximizada δ , dividindo-se a dispersão por k .$\tilde{A}\tilde{x}=\tilde{b}$$\delta$$k$

Portanto, acredito que seu problema é NP-difícil.

O problema é NP-completo, por redução do seguinte problema: Dada uma matriz A com entradas inteiras e um vetor inteiro b com $m\times n$$A$$b$$n$ entradas, existe um vetor 0-1 com A x = b ?$x$$Ax=b$

Para cada coordenada do vetor x , $x_i$$x$

• introduza novas equações x i + y i , k = 0 com k = 1 , $100(n+m)$$x_i+y_{i,k}=0$ e $k=1,\ldots,100(n+m)$
• introduza novas equações x i + z i , k = 1 com k = 1 , $100(n+m)$$x_i+z_{i,k}=1$ . $k=1,\ldots,100(n+m)$

Além disso, use o antigo sistema de equações .$Ax=b$

Existe uma solução de 0-1 para o sistema original , se e somente se o novo sistema tiver uma solução na qual pelo menos 100 ( n + m ) n variáveis ​​sejam zero.$Ax=b$$100(n+m)n$

Isso é chamado de problema do vetor de solução mais escassa e , na verdade, é difícil para o NP .

Esse problema é difícil , em várias configurações. Como indicado nas outras respostas a esta pergunta, o problema é NP-completo sobre os números inteiros.

No processamento de sinais, a matriz e os vetores têm entradas racionais, e esse problema às vezes é chamado de problema de reconstrução esparsa . Nesta configuração, o problema é NP-completo (consulte o Teorema 1).

Na teoria da codificação, as entradas são de um campo finito e esse problema às vezes é chamado de problema de decodificação de probabilidade máxima . Nesse cenário, o problema é NP-completo e não no tempo subexponencial , assumindo a hipótese do tempo exponencial. Além disso, de acordo com uma versão anterior de um artigo sobre o arXiv (consulte o Lema C.2 na versão 1 do artigo), o problema é W [1] - completo.