O problema do backup está NP-completo?

O seguinte problema de decisão é NP-completo:

Seja um gráfico não direcionado e dois inteiros. É possível selecionar para cada vértice de exatamente vizinhos diferentes, de modo que nenhum nó seja escolhido mais que vezes. $G$ $b \le c$ $G$ $b$ $c$

O caso pode ser resolvido para qualquer em tempo polinomial usando a correspondência máxima. $b = 1$ $c$

Motivação: cada nó deseja colocar backups em vizinhos diferentes, mas cada nó tem apenas capacidade para armazenar backups. $b$ $c$

cc.complexity-theory np-hardness graph-algorithms

— Volker Turau
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Eu acho que o seguinte é um algoritmo de tempo polinomial baseado no fluxo máximo. Seja a entrada. $G(V,E), b, c$

Construir um grafo orientado bipartido com e sendo as partições esquerdas e direitas e sendo as arestas dirigidas a partir de a . $H(L,R,F)$ $L$ $R$ $F$ $L$ $R$
Vamos . Existem vértices e vértices em . $|V| = n$ $n$ $L$ $n$ $R$
Cada vértice possui uma "cópia" em (digamos ) e uma cópia em (digamos ). $v \in V$ $L$ $v_l$ $R$ $v_r$
Se adicione uma aresta direcionada de a . Cada uma dessas arestas tem capacidade 1. $(u,v) \in E$ $u_l$ $v_r$
Adicionar um nó "fonte" e adicionar bordas dirigidas de para cada vértice em . Cada uma dessas arestas tem capacidade . $s$ $s$ $L$ $b$
Adicione um nó "afundar" adicione arestas direcionadas de cada vértice em a . Cada borda desse tipo tem capacidade . $t$ $R$ $t$ $c$
Encontre o fluxo máximo de a . $s$ $t$

O gráfico dado tem uma solução se e somente se o fluxo máximo calculado acima saturar todas as arestas de a , ou seja, o fluxo em todas as arestas de a é igual a . $G$ $s$ $L$ $s$ $L$ $b$

— Shiva Kintali
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De fato, essa é precisamente a solução pretendida quando atribuo isso como um problema de lição de casa.

— Jeffε 27/11