Computadores reais têm apenas um número finito de estados; então, qual é a relevância das máquinas de Turing para computadores reais?

Computadores reais têm memória limitada e apenas um número finito de estados. Portanto, eles são essencialmente autômatos finitos. Por que os cientistas teóricos da computação usam as máquinas de Turing (e outros modelos equivalentes) para estudar computadores? Qual é o sentido de estudar esses modelos muito mais fortes em relação aos computadores reais? Por que o modelo de autômatos finitos não é suficiente?

Há duas abordagens ao considerar esta questão: histórica que diz respeito à forma como os conceitos foram descobertos e técnicos, o que explica por que certos conceitos foram adotados e outros abandonados ou mesmo esquecidos.

Historicamente, a Máquina de Turing é talvez o modelo mais intuitivo de vários desenvolvidos tentando responder ao problema de Entscheidung . Isso está intimamente relacionado ao grande esforço das primeiras décadas do século XX em axiomatizar completamente a matemática. A esperança era que, depois de provar que um pequeno conjunto de axiomas estava correto (o que exigiria um esforço substancial), você poderia usar um método sistemático para obter uma prova da afirmação lógica em que estava interessado. Mesmo que alguém considere autômatos finitos nesse contexto, eles seriam rapidamente descartados, pois falham em calcular funções simples.

Tecnicamente, a afirmação de que todos os computadores são autômatos finitos é falsa. Um autômato finito possui memória constante que não pode ser alterada, dependendo do tamanho da entrada. Não há nenhuma limitação, em matemática ou na realidade, que impedia o fornecimento de fita adicional, discos rígidos, RAM ou outras formas de memória, uma vez que a memória na máquina estava sendo usada. Acredito que isso costumava ser empregado nos primeiros dias da computação, quando até cálculos simples podiam encher a memória, enquanto agora, para a maioria dos problemas e com a infraestrutura moderna que permite um gerenciamento de memória muito mais eficiente, na maioria das vezes isso não é um problema. .

EDIT: Eu considerei os dois pontos levantados nos comentários, mas optei por não incluí-los em termos de brevidade e tempo que eu tinha disponível para escrever a resposta. Este é o meu raciocínio sobre o motivo pelo qual acredito que esses pontos não diminuem a eficácia das máquinas de Turing na simulação de computadores modernos, especialmente quando comparados aos autômatos finitos:

• Deixe-me primeiro abordar a questão física de um limite de memória pelo universo. Antes de tudo, não sabemos realmente se o universo é finito ou não. Além disso, o conceito de universo observável, que é por definição finito, também é, por definição, irrelevante para um usuário que pode viajar para qualquer ponto do universo observável para usar a memória. A razão é que o universo observável se refere ao que podemos observar a partir de um ponto específico, a Terra, e seria diferente se o observador pudesse viajar para um local diferente no universo. Assim, qualquer argumentação sobre o universo observável se volta para a questão da finitude do universo. Mas vamos supor que, através de alguma inovação, adquirimos conhecimento de que o universo é realmente finito. Embora isso tenha um grande impacto em questões científicas, Duvido que isso tenha algum impacto no uso de computadores. Simplificando, pode ser que, em princípio, os computadores sejam realmente autômatos finitos e não máquinas de Turing. Mas, para a grande maioria dos cálculos e com toda a probabilidade todos os cálculos em que os humanos estão interessados, as máquinas de Turing e a teoria associada nos oferecem uma melhor compreensão. Em um exemplo grosseiro, embora saibamos que a física newtoniana está essencialmente errada, duvido que os engenheiros mecânicos usem principalmente a física quântica para projetar carros ou máquinas industriais; os casos de canto onde isso é necessário podem ser tratados em um nível individual. Mas, para a grande maioria dos cálculos e com toda a probabilidade todos os cálculos em que os humanos estão interessados, as máquinas de Turing e a teoria associada nos oferecem uma melhor compreensão. Em um exemplo grosseiro, embora saibamos que a física newtoniana está essencialmente errada, duvido que os engenheiros mecânicos usem principalmente a física quântica para projetar carros ou máquinas industriais; os casos de canto onde isso é necessário podem ser tratados em um nível individual. Mas, para a grande maioria dos cálculos e com toda a probabilidade todos os cálculos em que os humanos estão interessados, as máquinas de Turing e a teoria associada nos oferecem uma melhor compreensão. Em um exemplo grosseiro, embora saibamos que a física newtoniana está essencialmente errada, duvido que os engenheiros mecânicos usem principalmente a física quântica para projetar carros ou máquinas industriais; os casos de canto onde isso é necessário podem ser tratados em um nível individual.

• Quaisquer restrições técnicas, como barramentos e endereços, são simplesmente limitações técnicas do hardware existente e podem ser superadas fisicamente. O motivo para isso não ser verdade para os computadores atuais é porque o endereçamento de 64 bits nos permitiu mover o limite superior do espaço de endereço para alturas que poucos aplicativos podem alcançar. Além disso, a implementação de um sistema de endereçamento "extensível" poderia ter um impacto na grande maioria dos cálculos que não precisam dele e, portanto, é ineficiente. Nada impede você de organizar um sistema hierárquico de endereçamento, por exemplo, para dois níveis, o primeiro endereço pode se referir a qualquer um dos bancos de memória e, em seguida, cada banco possui 2 $2^{64}$$2^{64}$endereços diferentes. Essencialmente, a rede é uma ótima maneira de fazer isso, toda máquina cuida apenas da memória local, mas pode calcular em conjunto.

Para completar as outras respostas: Eu acho que a Turing Machine é uma melhor abstração do que os computadores fazem do que os autômatos finitos. De fato, a principal diferença entre os dois modelos é que, com autômatos finitos, esperamos tratar dados maiores que o espaço de estado, e a Turing Machine é um modelo para o contrário (espaço de estado >> dados), fazendo o estado espaço infinito. Esse infinito pode ser percebido como uma abstração de "muito grande na frente do tamanho dos dados". Ao escrever um programa de computador, você tenta economizar espaço para obter eficiência, mas geralmente assume que não será limitado pela quantidade total de espaço no computador. Essa é parte da razão pela qual as Máquinas de Turing são uma abstração melhor dos computadores do que os autômatos finitos.

Andrej Bauer deu uma razão importante nos comentários:

$\infty$$10000000000000000000000000000000$$10000000000000000000000000000000$

Deixe-me completar as outras respostas com alguns pontos, que provavelmente eram óbvios demais para mencionar:

• Se o seu objetivo é estudar computadores reais, os autômatos finitos e as máquinas de Turing geralmente serão modelos muito simples para as questões relevantes. Os computadores reais têm vários núcleos de processamento com uma hierarquia de cache (ou algum outro esquema de gerenciamento inteligente), acesso a uma quantidade razoável de memória rápida, acesso a uma quantidade enorme de memória externa lenta (discos rígidos) e podem se comunicar com outros computadores velocidade aproximadamente comparável à velocidade de acesso à lenta memória externa.
• Se agora você se pergunta por que precisa de todos esses detalhes, seu objetivo real é o estudo de instâncias de problemas e a eficiência com que você pode resolvê-las. Se você está falando de computadores reais, isso também pode significar que você executa experimentos com instâncias de problemas reais em diferentes tipos de arquiteturas de computadores (reais).
• O modelo de computadores reais descrito acima ainda é idealizado, porque ignora os vários modos de falha dos computadores reais. Como a falha no desligamento pode ser mais frequente que a falha no disco rígido (e os discos rígidos podem ter backups de qualquer maneira), certos domínios com problemas, como operação confiável do banco de dados, podem precisar levar isso em consideração.
• $\Pi_1^0$

Um formalismo é útil ou não, com base no que as pessoas querem usar o formalismo para modelar e entender.

A máquina de Turing é um formalismo útil para entender programas . Vale a pena entender os programas; a maior parte da computação real é realizada por programas, e não por máquinas para fins especiais. O formalismo da máquina de Turing nos permite modelar importantes preocupações do mundo real, como complexidade do tempo e do espaço. É muito menos natural tentar estudar essas noções usando autômatos de estados finitos.

Máquinas de Turing não são muito úteis ao tentar estudar a complexidade da computação de funções finitas (digamos, funções cujo domínio consiste em entradas de comprimento no máximo 10 milhões). A complexidade do circuito é muito melhor para descrever a complexidade das funções finitas ... mas as máquinas de Turing, por sua vez, têm sido muito úteis para entender a complexidade do circuito.

Autômatos finitos também foram úteis para entender a complexidade do circuito; todos esses modelos têm seu lugar no arsenal matemático.

Rejeito o argumento que diz que os autômatos de estados finitos são um modelo melhor da realidade apenas porque os computadores do mundo real têm apenas um número finito de estados internos. O estudo de autômatos de estado finito lida crucialmente com entradas provenientes de um conjunto infinito de strings, enquanto computadores do mundo real lidam com entradas de apenas um comprimento máximo fixo (a menos que você acredite que vivemos em um universo infinito, seja em termos de espaço ou hora).

Um modelo deve ser julgado em termos de sua utilidade na compreensão dos aspectos da realidade com os quais nos preocupamos. Ou (em alternativa) em termos de sua utilidade na compreensão de um universo matemático que as pessoas consideram suficientemente convincente, mesmo que esse universo matemático não tenha manifestação física óbvia.

Máquinas de Turing, máquinas de estado finito e circuitos (e outros modelos além) provaram sua utilidade.

Computadores reais não são FSAs. Um computador real é um computador universal, no sentido de que podemos descrever um computador para um computador emular e o computador o emulará. Para muitos exemplos, procure "máquina virtual".

É possível construir uma Universal Turing Machine - uma TM que recebe uma descrição de outra TM e emula a operação dessa TM em uma entrada fornecida.

$n$$2^{2^n}$

Para um ponto de partida na literatura, posso recomendar " Sobre a existência de autômatos finitos ou pushdown universais ", que estuda a inexistência de autômatos universais. Você também pode olhar para as referências (e assim por diante).

O que torna a máquina de Turing especial é que, embora seja muito, muito simples, ela pode executar todos os (classes de) algoritmos em que podemos pensar. Não existe uma máquina conhecida que seja mais poderosa (pois pode executar algoritmos dos quais a máquina de Turing não é capaz).

Sendo mecanicamente simples, é fácil mostrar se, ou em que grau, outras máquinas são equivalentes a uma máquina de Turing. Isso, por sua vez, torna relativamente fácil mostrar se um determinado computador (ou linguagem de computador) é verdadeiramente universal (c / f "Turing-complete").

Por que o modelo de autômatos finitos não é suficiente?

Enquanto outras respostas já mencionam muitos aspectos relevantes, acredito que a grande vantagem das máquinas de Turing sobre os autômatos finitos é a separação de dados e programa . Isso permite que você analise um programa bastante finito e faça declarações sobre como esse programa lidaria com entradas diferentes, sem restringir o tamanho da entrada.

Embora seja teoricamente possível descrever um computador real e algo como uma máquina de Turing com fita finita como uma máquina de estados, isso não é realmente viável: o número de estados é exponencial na quantidade de memória que sua máquina possui e o valor finito geral o formalismo do autômato de estado exige que você liste explicitamente as transições entre esses estados. Portanto, para um autômato de estado finito geral desse tamanho, é inviável fazer deduções com base em uma enumeração completa de todas as transições de estado.

Obviamente, em um computador real, as transições de estados não podem acontecer arbitrariamente. Não há comando para trocar um terço dos bits na memória em uma única etapa da computação. Assim, você pode tentar criar uma especificação mais compacta para as transições de estado. Algo como a especificação do conjunto de instruções da sua arquitetura. Obviamente, arquiteturas de computador reais são complicadas por causa do desempenho, então você pode simplificar ainda mais isso, para um conjunto de instruções muito simples, que apenas executa etapas muito pequenas usando entradas e saídas muito limitadas. No final, você pode achar que sua arquitetura se assemelha a algo como um intérprete de máquina de Turing: usando alguns bits de código de programa e um pouco de entrada, gere um pouco de saída e mova-se no código do programa.

Uma alternativa seria usar os estados de um autômato de estado finito apenas para representar os dados que estão sendo processados ​​pelo programa, enquanto codifica o próprio programa nas transições de estado. Isso implicaria o mesmo problema de como enumerar todos os estados, e uma representação compacta pode estar novamente próxima do que uma máquina de Turing faz.

Qual é o sentido de estudar esses modelos muito mais fortes em relação aos computadores reais?

No geral, eu diria que uma máquina de Turing com fita finita provavelmente seria um modelo melhor para computadores reais. Mas, para muitas questões científicas, a distinção entre uma fita finita, porém grande e uma fita infinita é irrelevante; portanto, apenas reivindicar uma fita infinita facilita as coisas. Para outras perguntas, a quantidade de fita usada é o cerne da questão, mas o modelo permite que você fale facilmente sobre a quantidade de uso de fita sem o incômodo de especificar o que acontece se a computação ficar sem fita.

A maioria dos problemas requer máquinas de Turing de tamanho finito

Embora suponha que a fita não acoplada seja uma simplificação útil, a maioria dos problemas / algoritmos exige, de fato, uma quantidade finita de fita, e os limites da memória necessária (possivelmente dependendo do tamanho da entrada) podem ser analisados ​​e frequentemente comprovados.

Isso também costuma generalizar para outros tipos de computadores (para os quais a análise ou prova vinculada pode ser muito mais confusa do que em uma máquina de Turing) e permite estimar a quantidade de armazenamento temporário necessário para um problema específico - isso pode ser feito em uma quantidade fixa do espaço? Proporcional à entrada? Requer quantidades exponenciais de espaço à medida que os insumos crescem?

Uma característica importante das máquinas de turing que os autômatos finitos não compartilham é que elas podem escalar a quantidade de memória necessária para resolver o problema com o tamanho do problema .

$n$$n\cdot2$

O ponto: muitos problemas têm soluções naturais que usam mais memória, quanto maior o problema. Portanto, é natural descrever essas soluções com representações que podem usar memória infinita - não porque uma instância utilize quantidades infinitas, mas porque existe uma instância que usa cada quantidade. Você pode fazer isso com máquinas de turing, mas também com sequências de autômatos finitos.

Computadores reais têm memória limitada e apenas um número finito de estados. Portanto, eles são essencialmente autômatos finitos.

Máquinas de Turing são derivadas de autômatos finitos. As máquinas de Turing são praticamente da arquitetura de von Nuemann.