“Estouro” no algoritmo euclidiano estendido

Desculpe se estou enganado com o local para fazer a pergunta (talvez eu deva ir para stackoverflow.com/mathoverflow.net?).

Gostaria de saber se existe uma prova de que, ao avaliar o algoritmo euclidiano estendido, os coeficientes de Bézout (que são s e t na identidade como + bt = gcd ( a , b )) não excedam alguns valores razoáveis ​​(dependendo de a, b, eu acho ) Em particular na implementação de alguma linguagem de programação de uso geral, estou interessado na correção do estouro do programa.

Para ser mais preciso, posso mencionar que uso a descrição do algoritmo de Victor Shoup (4.2 em seu livro “ Uma Introdução Computacional à Teoria dos Números e Álgebra ”, disponível gratuitamente em sua página inicial).

Isso é chamado identidade / lema de Bézout (não deve ser confundido com o teorema de Bézout em geometria algébrica), que afirma:

Lema. Para todos os números inteiros , para alguns números inteiros . Além disso, podemos assumire.$a,b \neq 0$$\gcd(a,b) = ax + by$$x,y$$|x| \leq |b|$$|y| \leq |a|$

As provas podem ser encontradas em livros de álgebra padrão. Além disso, você pode provar por indução nas iterações do processo gcd.

Em geral, isso é verdade em todo domínio euclidiano com uma função euclidiana multiplicativa . No caso aqui, quando , temosque é multiplicativo.$R$$f$$R = \mathbf{Z}$$f(x) = |x|$