Complexidade parametrizada de P a NP-hard e vice-versa

Estou procurando exemplos de problemas parametrizados por um número $k \in \mathbb{N}$ , onde a dureza do problema não é monotônica em $k$ . A maioria dos problemas (na minha experiência) tem uma transição monofásica, por exemplo, $k$ -SAT possui uma transição monofásica de $k \in \{1,2\}$ (onde o problema está em P) para $k \ge 3$ (onde o problema é NP- completo). Estou interessado em problemas em que há transições de fase em ambas as direções (de fácil para difícil e vice-versa) à medida que $k$ aumenta.

Minha pergunta é um pouco semelhante à feita em Hardness Jumps in Computational Complexity , e de fato algumas das respostas são relevantes para minha pergunta.

Exemplos que eu conheço:

1. $k$ -colorability de gráficos planares: em P, exceto quando$k=3$ , onde está NP-completo.
2. Árvore de Steiner com terminais $k$ : em P, quando $k=2$ (cai para o menor caminho $s$ - $t$ ) e quando $k=n$ (cai para MST), mas NP é difícil "no meio". Não sei se essas transições de fase são nítidas (por exemplo, P para $k_0$ mas NP-difícil para $k_0+1$ ). Além disso, as transições de $k$ dependem do tamanho da instância de entrada, diferentemente dos meus outros exemplos.
3. Contando atribuições satisfatórias de um módulo de fórmula planar $n$ : Em P quando $n$ é um número primo de Mersenne $n=2^k-1$ e # P-completo para a maioria (?) / Todos os outros valores de $n$ (de Aaron Sterling neste tópico ) . Muitas transições de fase!
4. Detecção de subgráfico induzido: o problema não é parametrizado por um número inteiro, mas por um gráfico. Existem gráficos $H_1 \subseteq H_2 \subseteq H_3$ (onde $\subseteq$ denota um certo tipo de relação de subgráfico), para o qual determinar se $H_i \subseteq G$ para um dado gráfico $G$ está em P para $i\in \{1,3\}$ mas NP- completo para $i=2$ . (de Hsien-Chih Chang no mesmo tópico ).

Um campo com muita não monotonicidade da complexidade do problema é o teste de propriedades. Seja o conjunto de todos os gráficos n -vertex e chame P ⊆ G n uma propriedade de gráfico. Um problema genérico é determinar se um gráfico G tem a propriedade P (ou seja, G ∈ P ) ou está longe de ter a propriedade P em algum sentido. Dependendo do que P é e que tipo de acesso à consulta você tem no gráfico, o problema pode ser bastante difícil.$\mathcal{G}_n$$n$$P \subseteq \mathcal{G}_n$$G$$P$$G \in P$$P$$P$

Mas é fácil perceber que o problema não é monótono, pois se temos , o fato de P ser facilmente testável não implica que S seja facilmente testável ou que T seja. $S \subset P \subset T$$P$$S$$T$

Para ver esta, é o suficiente para observar que e P = ∅ são ambos trivialmente testável, mas que, para algumas propriedades, existem fortes limites inferiores.$P = \mathcal{G}_n$$P = \emptyset$

Para um dado gráfico e um número inteiro k ≥ 1 , a k- ésima potência de G , denotada por G k , tem o mesmo conjunto de vértices, de modo que dois vértices distintos são adjacentes em G k se a distância em G for no máximo k . O problema de k- ésima potência do gráfico dividido pergunta se um determinado gráfico é a k- ésima potência de um gráfico dividido.$G$$k\ge 1$$k$$G$$G^k$$G^k$$G$$k$$k$$k$

• Para , o problema solucionável em tempo linear. Isso ocorre porque o reconhecimento de gráficos divididos é possível em tempo linear (bem conhecido).$k=1$
• Para , o problema é NP-completo. Isso é comprovado por Lau e Corneil em Reconhecendo potências de intervalo adequado, divisão e gráfico de acordes , SIAM J. Discrete Math., 18 (2004), 83-102 .$k=2$
• Para , o problema é trivial: somente gráficos completos são k -ésimos potências de um gráfico dividido.$k\ge 3$$k$

$\Delta$$\Delta=2$3 ⩽ Δ ⩽ $\Delta\geqslant 7$$3\leqslant\Delta\leqslant 6$

A questão relacionada é discutida aqui .

Determinando se um gráfico tem uma camarilha dominante para:$G$

• $diam(G)=1$ é trivial - a resposta é sempre 'sim'
• $diam(G)=2$ é NP-completo
• $diam(G)=3$ é NP-completo
• $diam(G)\ge 4$ é trivial - a resposta é sempre 'não'

O caso é devido a Brandstädt e Kratsch , e o caso é observado em um artigo recente meu .d i a m ( G ) = $diam(G)=3$$diam(G)=2$

Este é um exemplo do fenômeno que você está procurando?

Considere o problema do k-Clique, em que k é o tamanho da camarilha que estamos procurando. Portanto, o problema é "Existe um clique do tamanho k no gráfico G nos n vértices?"

Para todas as constantes k, o problema está em P. (O algoritmo de força bruta é executado no tempo .) Para valores grandes de k, por exemplo valores como n / 2, é NP completo. Quando k se aproxima muito de n, como nc para alguma constante c, o problema está em P novamente, porque podemos pesquisar todos os subconjuntos de n vértices de tamanho nc e verificar se algum deles forma um clique. (Existem apenas desses subconjuntos, que são polinomialmente grandes quando c é uma constante.)O ( n c$O(n^k)$$O(n^c)$

Aqui está um exemplo que pode ser do tipo que você está procurando. O parâmetro não é um número inteiro, é um par de números. (Embora um deles possa ser corrigido para torná-lo um problema de um parâmetro).

O problema é avaliar o polinômio de Tutte de um gráfico G nas coordenadas (x, y). Podemos restringir as coordenadas para serem inteiros. O problema está em P se (x, y) é um dos pontos (1, 1), (-1, -1), (0, -1), (-1,0) ou é satisfatório (x-1 ) (y-1) = 1. Caso contrário, é # P-difícil.

Eu peguei isso no artigo da Wikipedia sobre o polinômio Tutte .

E a questão de calcular a permanente de uma matriz módulo ? Para isso é fácil (já que permanente = determinante) e Valiant (em " A complexidade de calcular o permanente ") mostrou que pode ser calculado o módulo no tempo para por uma variante modificada da eliminação gaussiana. Mas para que não é uma potência de , é UP-Hard. k = 2 2 d O ( n 4 d - 3 ) d ≥ 2 k $k$$k=2$$2^d$$O(n^{4d-3})$$d \geq 2$$k$$2$

Outro problema com esse fenômeno é o problema MÍNIMO -SPANNER em gráficos divididos.$t$

Para uma constante , um -spanner de um gráfico conectado é um spanning subgráfico conectado de tal que, para cada par de vértices e , a distância entre e em é na maioria vezes a sua distância em . O problema MINIMO -SPANNER solicita uma chave com número mínimo de arestas de um determinado gráfico.t G H G x y x y H t G t $t$$t$$G$$H$$G$$x$$y$$x$$y$$H$$t$$G$$t$$t$

Um gráfico dividido é um gráfico cujo conjunto de vértices pode ser particionado em um clique e em um conjunto independente.

No presente documento , foi demonstrado que o mínimo de 2-INGLESA em gráficos de divisão é NP-duro, enquanto para cada , MÍNIMO -SPANNER é fácil de gráficos de divisão.$t \ge 3$$t$

Um exemplo bem conhecido é a coloração edge.$k$

É decidível em tempo polinomial se caso contrário, ele é completo .N P$k \ne \Delta$$NP$

Para gráficos cúbicos, decidindo a existência de coloração de arestas usando:

• $k=2$ cores é trivial, pois a resposta é sempre não.
• N $k=3$ cores é completo$NP$
• $k \ge 4$ cores é trivial, pois a resposta é sempre sim.

Holyer, Ian (1981), "The NP-completeness of edge-colouring", SIAM Journal on Computing 10: 718–720

http://en.wikipedia.org/wiki/Edge_coloring

Este é um exemplo interessante (e surpreendente) para uma transição de fase P NP-difícil P NP-difícil :$\to$$\to$$\to$$\to \cdots$

Decidir se um gráfico completo em vértices, no qual cada vértice tem uma classificação estrita de todos os outros vértices, admite que uma correspondência popular seja em P para ímpar e NP-difícil para par . (O parâmetro é o número do vértice .)$n$$n$$n$$n$

A prova foi anunciada neste artigo .

Um caminho em um gráfico colorido de borda é arco - íris se nenhuma cor aparecer duas vezes nele. Um gráfico é colorido do arco - íris se houver um caminho do arco-íris entre cada par de vértices. Permita que RAINBOW- -COLORABILITY seja o problema de decidir se um determinado gráfico pode ser colorido em arco-íris usando cores.$k$$k$

Para qualquer gráfico , o problema é fácil para pois é igual a verificar se é um gráfico completo. Para gráficos divididos , o problema é completo para e em para todos os outros valores de .k = 1 G N P k ∈ { 2 , 3 } P $G$$k=1$$G$$\sf NP$$k \in \{2,3\}$$\sf P$$k$

Veja Chandran, L. Sunil, Deepak Rajendraprasad e Marek Tesař. "Coloração arco-íris de gráficos divididos". pré-impressão do arXiv arXiv: 1404.4478 (2014).

Um subconjunto de um gráfico é um cutset desconectado se e estiverem desconectados.G G [ U ] G - $U\subseteq V(G)$$G$$G[U]$$G-U$

Decidir se um gráfico de diâmetro 1 tem um cutset desconectado é trivial. O problema torna-se NP-difícil nos gráficos de diâmetro 2, veja este artigo e é novamente fácil nos gráficos de diâmetro, pelo menos 3, veja este artigo .