Encontrar o maior conjunto de pontos de diâmetro limitado

Dados os pontos em e uma distância encontro o maior subconjunto desses pontos, de modo que a distância euclidiana de nenhum deles exceda . $p_1,\ldots,p_n$ $\mathbb{R}^{d}$ $l$ $l$

Qual é a complexidade desse problema?

No gráfico sobre os pontos que têm uma aresta sempre que a distância de dois pontos é no máximo , o problema é equivalente a encontrar uma camarilha máxima. O inverso pode não se sustentar, porque nem todo gráfico pode ser obtido dessa maneira (um exemplo é a estrela para ). Portanto, uma pergunta relacionada é: o que se sabe sobre essa classe de gráficos? $l$ $K_{1,7}$ $d=2$

ds.algorithms reference-request cg.comp-geom

— Marcus Ritt
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Observe que se

é fixo, existe um algoritmo "trivial" no tempo P: como esse conjunto é encerrado em uma bola de raio

, e sem perda de generalidade, a bola é mínima (ou seja, toca em

pontos), apenas enumere sobre todos os subconjuntos. Você pode fazer melhor, mas do ponto de vista da complexidade, o problema é "fácil".

d

$d$

l / 2

$l/2$

d + 1

$d+1$

— Suresh Venkat

Não acho que seja verdade que o conjunto ideal esteja necessariamente envolvido em uma bola de raio l / 2. No plano, por exemplo, os três vértices de um triângulo equilátero de comprimento lateral l não são tão fechados.

— David Eppstein

ah verdade. mas a enumeração deve funcionar independentemente.

— Suresh Venkat

Você pode enumerar subconjuntos dentro de bolas, mas se você fizer o raio l / 2, não encontrará subconjuntos de baixo diâmetro e, se o raio for maior do que isso, não será óbvio como aparar os subconjuntos para que eles tem baixo diâmetro.

— David Eppstein

por que não consigo enumerar subconjuntos, encontrar uma bola minúscula e calcular a cardinalidade interna de cada uma?

— Suresh Venkat

Respostas:

Existe um algoritmo de tempo para a versão bidimensional desse problema em meu artigo com Jeff Erickson, " Iterado vizinhos mais próximos e encontrando polítopos mínimos ", Disc. Comp. Geom. 11: 321-350, 1994. Na verdade, o artigo analisa principalmente o problema duplo: dado o número de pontos no subconjunto, encontre o menor diâmetro possível; mas usa o problema que você descreve como uma sub-rotina. Pelo menos no momento em que o escrevemos, não sabíamos nada subexponencial para dimensões mais altas (embora, se o subconjunto tenha apenas pontos, a parte exponencial possa ficar dependente de em vez de $O(n^3\log n)$ $k$ $k$ $n$ usando técnicas no mesmo artigo).

— David Eppstein
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A aproximação é bem fácil se você estiver interessado no menor subconjunto com diâmetro no máximo . Um algoritmo de tempo linear usando grades agora é "padrão". A constante provavelmente seria algo como . $(1+\epsilon)l$ $2^{O(1/\epsilon^d)}$

Há algum trabalho para encontrar a menor bola contendo k pontos, mas o problema do diâmetro é inerentemente mais difícil. Para entender por que, um bom ponto de partida é o artigo de Clarkson-Shor para calcular o diâmetro em 3d.

BTW, para dimensões altas, o problema da bola é exponencial no tempo aproximado em (ou algum ruído semelhante), usando conjuntos de cores (mas não na dimensão!). Eu duvido que essa abordagem possa ser estendida a esse problema, mas posso estar errado. $O(1/\epsilon^2)$

— Sariel Har-Peled
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