Para quais gráficos a árvore DFS é sempre um caminho?

Para quais gráficos não direcionados estão todas as árvores de pesquisa em profundidade (para todos os possíveis vértices iniciais e para todas as opções de quais vizinhos pesquisar primeiro) caminhos direcionados? Ou seja, toda árvore DFS deve ter apenas uma folha e todos os outros vértices devem ter exatamente um filho.

Por exemplo, é verdade para ciclos, gráficos completos e gráficos bipartidos completos balanceados.

Encontrar uma árvore DFS que não é um caminho está obviamente no NP. É NP completo ou polinomial?

Isso é equivalente à propriedade em que você pode construir um caminho hamiltoniano assumindo avidamente uma borda arbitrária em cada vértice. Procurando por um caminho Hamiltoniano ganancioso transformou-se: avidamente a construção de caminhos de Hamilton, ciclos de Hamilton e máximo lineares florestas , Tankusa e Tarsib, doi: 10.1016 / j.disc.2006.09.031 , que aponta para aleatoriamente rastreável Gráficos , Chartrand e Kronk, SIAM J. Appl. Math., 16 (4), 696–700, doi: 10.1137 / 0116056 como caracterizando esses gráficos como precisamente os gráficos mencionados na pergunta.