Idiomas irredutíveis

15

Esta não é necessariamente uma questão de pesquisa. Apenas uma pergunta por curiosidade:

Estou tentando entender se é possível definir linguagens "irredutíveis". Como primeira hipótese, chamo uma linguagem L de "redutível" se puder ser escrita como com e , caso contrário, chame o idioma de "irredutível". É verdade: $L = A \cdot B$ $A \cap B = \emptyset$ $|A|,|B|>1$

1) Se P é irredutível, A, B, C são idiomas tais que , e , então existe um idioma tal que ? Isso corresponderia em números inteiros ao lema de Euklid e seria útil para provar a singularidade da "fatoração". $A\cap B = \emptyset$ $P \cap C = \emptyset$ $A\cdot B = C\cdot P$ $B' \cap P = \emptyset$ $B = B'\cdot P$

2) É verdade que toda língua pode ser fatorada em um número finito de línguas irredutíveis?

Se alguém tiver uma idéia melhor sobre como definir linguagem "irredutível", eu gostaria de ouvi-la. (Ou talvez já exista uma definição disso, da qual desconheço?)

fl.formal-languages

— orgesleka
fonte

"se ele pode ser escrito como

com

e

", onde

é ...

L = A \cdot B

$L = A \cdot B$

A \cap B = \emptyset

$A \cap B = \emptyset$

| A |, | B | > 1

$|A|,|B|>1$

\cdot

$\cdot$

1

é concatenação

\cdot

$\cdot$

— orgesleka

4

Você pode estar interessado no artigo "Línguas Primárias

— Denis

2

Aqui está um contra-exemplo para isso:

chame um idioma L de "redutível" se puder ser escrito como $L = A \cdot B$ com $A \cap B = \emptyset$ e $|A|,|B|>1$ , caso contrário, chame o idioma de "irredutível". É verdade:

1) Se P é irredutível, A, B, C são idiomas tais que $A\cap B = \emptyset$ , $P \cap C = \emptyset$ e $A\cdot B = C\cdot P$ , então existe um idioma $B' \cap P = \emptyset$ tal que $B = B'\cdot P$ ?

No alfabeto unário $\{0\}$ , defina as seguintes palavras

a = 0^{4}, b = 0, c = 0^{3}, p = 0^{2} .

$a=0^4,\quad b=0,\qquad c=0^3,\quad p=0^2.$

a b = c p

$ab=cp$

b = b^{'} p

$b=b'p$

b^{'}

$b'$

P = {p}, A = {a}, B = {b}, C = {c} .

$P=\{p\},\quad A=\{a\},\quad B=\{b\},\quad C=\{c\}.$

— Bjørn Kjos-Hanssen
fonte

1

@bjornkjoshanssen: Thank you for your example and your answer!

— orgesleka

@orgesleka You're welcome... I guess concatenation is more like addition than like multiplication

— Bjørn Kjos-Hanssen

19

There is the notion of primality of a language. It asks whether L can be written as $L_1 \cdot L_2$ where neither factor contains the empty word. A language is prime if it cannot be written in this form.

For a given regular language, represented by a DFA, it is shown in [MNS] that it is PSPACE-complete to decide primality.

[MNS] Wim Martens, Matthias Niewerth and Thomas Schwentick, "Schema design for XML repositories: complexity and tractability", 2010. doi:10.1145/1807085.1807117

— Thomas S
fonte

15

Another paper to look at:

Kai Salomaa, "Language Decompositions, Primality, and Trajectory-Based Operations", 2008.

— Jeffrey Shallit
fonte