Propriedade Something-Treewidth

Deixe ser um parâmetro gráfico (ex. De diâmetro, o número de domínio, etc)$s$

Uma família de gráficos possui a propriedade -treewidth se houver uma função tal que, para qualquer gráfico , a largura de árvore de seja no máximo . s f G ∈ F G f ( s $\mathcal{F}$$s$$f$$G\in \mathcal{F}$$G$$f(s)$

Por exemplo, seja e seja a família de gráficos planares. Então, sabe-se que qualquer gráfico plano de diâmetro no máximo tem largura de árvore no máximo . De maneira mais geral, Eppstein mostrou que uma família de gráficos tem a propriedade diâmetro-largura da árvore se, e somente se, exclui algum gráfico do ápice como menor. Exemplos de tais famílias são gráficos de gênero constante, etc.F s O ( s $s = \mathit{diameter}$$\mathcal{F}$$s$$O(s)$

Como outro exemplo, vamos . Fomin e Thilikos provaram um resultado analógico ao de Eppstein, mostrando que uma família de gráficos tem a propriedade domination-number-treewidth se e somente se tiver largura de árvore local. Observe que isso acontece se e somente se tiver a propriedade Diameter-Treewidth.F $s = \mathit{domination{-}number}$$\mathcal{F}$$\mathcal{F}$

Questões:

1. Para quais parâmetros de gráfico a propriedade -treewidth conhecida por conter gráficos planares?$s$$s$
2. Para quais parâmetros de gráfico a propriedade -treewidth conhecida por conter gráficos de largura local limitada?$s$$s$
3. Existem outras famílias de gráficos, não comparáveis ​​aos gráficos de largura da árvore local limitada para a qual a propriedade -treewidth é válida para alguns parâmetros adequados ?$s$$s$

Sinto que essas questões têm alguma relação com a teoria da bidimensionalidade . Dentro dessa teoria, existem vários parâmetros importantes. Por exemplo, os tamanhos do conjunto de vértices de feedback, cobertura de vértice, correspondência máxima mínima, cobertura de face, conjunto dominante, conjunto dominante de aresta, conjunto dominante R, conjunto dominante R, conjunto dominante conectado, conjunto dominante de aresta conectado, conjunto dominante R, etc.

4. Será que qualquer parâmetro encontrou na teoria bidimensionalidade têm o propriedade -treewidth por algum familiar adequado de gráficos?$s$$s$

Para a pergunta : qualquer parâmetro bidimensional possui essa propriedade em gráficos gerais. Um parâmetro é bidimensional se o valor de para cada menor de e se for `` grande '' nas grades.s ( G ) s ( G ) ≥ s ( H ) H G $1$$s(G)$$s(G) \geq s(H)$$H$$G$$s$

Em aplicações para PTASes, sub algoritmos exponenciais e amêndoas em classes livre menores de gráficos, "grandes" significa que existe uma constante , de tal modo que o valor de em uma vezes grade é, pelo menos, . É o que você provavelmente encontrará se fizer uma pesquisa no google por `` bidimensionalidade ''s t t c t $c$$s$$t$$t$$ct^2$

No entanto, para a sua pergunta, basta que cresce ao infinito em vezes grades como cresce ao infinito. Isso ocorre porque qualquer gráfico com largura de árvore grande o suficiente conterá uma grade menor o suficiente. Então, para concluir, se s:t t $s$$t$$t$$t$

• está fechado para menores
• é arbitrariamente grande em t vezes t grades para t grande o suficiente

Então s tem a propriedade s-treeewidth. Veja o recente livro de complexidade parametrizada ( http://parameterized-algorithms.mimuw.edu.pl ) no capítulo da largura da árvore para obter mais informações.

Entre sua lista, (pelo menos) número de capa de vértice e tamanho do conjunto de vértices de feedback, para gráficos em geral.

1. Se um gráfico tiver uma cobertura de vértice no máximo , então ela terá uma largura de árvore no máximo ?$s$$\dots$

2. Se um gráfico tiver um conjunto de tamanho de vértice de feedback no máximo , ele terá largura de árvore no máximo ?$s$$\dots$