complexidade de um problema de promessa de satisfação de restrição

(Este é o "extremidade superior" da minha pergunta de mais de 10 meses atrás em cs.stackexchange.
Essa pergunta eo "limite inferior" Eu perguntei aqui mais de 8 meses atrás ,
que eu também tenho uma recompensa por, são ambos sem resposta.
Estes são capturas de tela de como essa postagem deve ser, caso não seja renderizada corretamente.)

início da seção Motivação:

Comecei a pensar se o teorema da dicotomia de Schaefer
pode ou não ser estendido a restrições de promessa . Como parte disso, procurei
a restrição de promessa mais simples para a qual a resposta não é trivial:

Para evitar que o teorema de Schaefer já se aplique, deve haver pelo menos uma tupla de entrada para a qual a promessa falha. Pela mesma razão que esse teorema, todo verdadeiro e todo falso devem dar NÃO, e deve haver mais de uma entrada que dê SIM. Em particular, deve haver mais de quatro entradas possíveis; portanto, a restrição de promessa deve ter mais de pelo menos três variáveis. Para obter uma simples , suponha que ela tenha mais de exatamente 3 variáveis e seja simétrica, ou seja, depende apenas de quantasde suas entradas são verdadeiras, não quais são essas. Nesse caso, 2-true fornece YES e a promessa falha em 1-true, 1-true fornece YES e a promessa falha em 2-true. Ao apenas inverter cada variável, essas são equivalentemente difíceis, de modo a fornecer uma declaração formal mais curta e um nome "melhor", usarei a última, ou seja, exatamente 1-true dá SIM e a promessa falha 2-true.

fim da seção de motivação

Minha pergunta:

"1,2-em-3-SAT positivo" é o problema da promessa As

entradas têm a sintaxe de 3-SAT sem que as negações
devam gerar SIM se: a entrada é 1-em-3-satisfatória
deve gerar NÃO se : a entrada é não NAE-satisfiable

.

Qual é a complexidade desse problema?

Você começa a escolher se-ou-não uma variável pode ocorrer duas vezes em uma única promessa-restrição.

(Uma variável que ocorre três vezes em uma única restrição de promessa
tornaria automaticamente uma instância de saída obrigatória.)

Obviamente, a função de identidade é uma redução do problema da promessa para 1-em-3-SAT
positivo e NAE-SAT positivo, para que o GC (O (m), coNLOGTIME ) possa resolver o problema da promessa.
No entanto, há uma observação aparentemente trivial que leva a uma
obstrução combinatória a provas "simples" de dureza NP para 1,2-em-3-SAT positivo:

para qualquer conjunto de variáveis que atenda a pelo menos uma restrição de promessa mais de uma vez,
não existe uma tarefa 1 em 3 satisfatória na qual essas variáveis sejam verdadeiras.
Por outro lado, para qualquer conjunto de variáveis que atenda a cada restrição de promessa no máximo uma vez, para qualquer
Uma tarefa que satisfaça 1 em 3, possivelmente modificando-a para tornar todas as variáveis nesse conjunto verdadeiras, fornece uma tarefa que satisfaça o NAE. Em particular, a disjunção de duas atribuições de 1 em 3
é sempre uma tarefa de NAE. Para elaborar as conseqüências disso,
suponha que o 1,2-em-3-SAT positivo tenha um gadget que implemente uma restrição de promessa C, de modo que
o gadget "represente e interprete as variáveis de C da mesma maneira que o outro", ou seja,

$forward$
^{$\hspace{.02 in}$}

$forward$

$backward$ ^{$\hspace{.02 in}$}
$backward$

. Nesse caso, para cada uma das variáveis de C x e y, se C tiver uma entrada YES tal que (x, y) = (a, b) e
uma entrada YES tal que (x, y) = (b, a), então ele tem uma entrada tal que x = y, mas não fornece NO.
Em particular, esses aparelhos não conseguem nem implementar a promessa de cores .

Além disso, o complemento de uma tarefa que satisfaz 1 em 3 é sempre uma tarefa que satisfaz o NAE, o que impõe restrições mais fracas aos tipos de gadgets que 1,2 em 3-SAT positivo pode ter.

$m$ $\hspace{-0.03 in}\big(\hspace{-0.04 in}$ 2 ^{o (m)} $\hspace{-0.03 in}\big)\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.04 in}$ $m$

np-hardness csp promise-problems

— Comunidade
fonte

Digamos que recebemos uma expressão booleana F em 3-CNF, onde nenhum dos literais é negado. Ok ... Temos a promessa de que sempre existe uma solução, pois você deseja que seja SIM = 1 em 3-SAT e NÃO = NAE-SAT. No entanto, o que você está perdendo é que F pode ser 1-em-3-SAT e NAE-SAT ao mesmo tempo. Por exemplo, ele pode ter uma atribuição de verdade satisfatória, onde exatamente 1 literal é satisfeito e, portanto, é 1-em-3-SAT, mas isso também o coloca no NAE-SAT, pois os literais de todas as cláusulas não são todos True ou Falso.

— Tayfun Pay

Que tal SIM = 1 em 3 SAT, NÃO = 2 em 3 SAT. ? :-)

— Tayfun Pay 15/17

"isso também o coloca no NAE-SAT", o que significa que não é satisfatório para o NAE, portanto não vejo o problema com o que escrevi.

Sim. Acabei de ver que você deseja ~ NAE-SAT ... Então, você deseja que todos os literais de cada cláusula sejam todos Verdadeiros ou Falsos. Corrigir?

— Tayfun Pay

Toda a parte True não é factível a menos que você tenha negações ... E a mesma variável duas vezes com polaridade oposta na mesma cláusula.

— Tayfun Pay

No que diz respeito à questão de saber se o teorema da dicotomia de Shaefer (ou mais geralmente, a conjectura de Feder – Vardi, recentemente provada por Bulatov e Zhuk ), pode ser generalizada para prometer problemas: a complexidade da promessa de CSPs é atualmente um tópico de pesquisa importante. Ainda está muito aberto se houver uma dicotomia mesmo para PCSPs booleanos. Entretanto, resultados parciais são conhecidos, em particular Brakensiek e Guruswami [1] provam dicotomia para PCSPs booleanos simétricos que permitem negar variáveis.

$x_1-x_2+x_3-\dots-x_{L-1}+x_L$

Algoritmo 1:

$C$ $3$ $\overline{x_i}$ $1-x_i$ $L_C$

u + v + w = 1

$u+v+w=1$

{u, v, w} \in C

$\{u,v,w\}\in C$

(x_{1}, \dots, x_{n})

$(x_1,\dots,x_n)$

L_{C}

$L_C$

$C$

x_{i}^{'} = {\begin{cases} 1 & x_{i} \geq 1, \\ 0 & x_{i} \leq 0 \end{cases}

$x'_i=\begin{cases}1&x_i\ge1,\\0&x_i\le0\end{cases}$

C

$C$

(Ambas as reivindicações são fáceis de verificar.)

Algoritmo 2:

$P_C$ $L_C$

0 \leq x_{i} \leq 1

$0\le x_i\le1$

x_{i}

$x_i$

$i$ $P_C\cup\{x_i=0\}$ $P_C\cup\{x_i=1\}$ $C$

$C$

$3$ $C$ $C$

Referência:

[1] Joshua Brakensiek e Venkatesan Guruswami, satisfação de restrições promissoras : estrutura algébrica e uma dicotomia booleana simétrica , arXiv: 1704.01937 [cs.CC].

— Emil Jeřábek
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