Hierarquias em idiomas regulares

Existe alguma hierarquia "legal" conhecida (pode ser finito) dentro da classe de idiomas regulares ? Por legal aqui, as classes em cada hierarquia capturam expressividade / poder / complexidade diferentes. Além disso, a composição de cada classe é "bem" demonstrada por alguns elementos (diferentemente do problema de altura da estrela que pode ser problemático).$L_0 \subseteq L_1 \subseteq L_2 \subseteq \dots$$L$

Obrigado!

Aqui está uma lista de várias hierarquias de interesse, algumas das quais já foram mencionadas em outras respostas.

1. Hierarquias de concatenação

Uma linguagem é um produto marcado de L 0 , L 1 , … , L n se L = L 0 a 1 L 1 ⋯ a n L n para algumas letras a 1 , … , a n . As hierarquias de concatenação são definidas alternando operações booleanas e operações polinomiais (= união e produto marcado). A hierarquia de Straubing-Thérien (ponto de partida { ∅ , A ∗ } $L$$L_0, L_1, \ldots, L_n$$L = L_0a_1L_1 \cdots a_nL_n$$a_1, \ldots, a_n$$\{\emptyset, A^*\})\ $e a hierarquia de profundidade de ponto (ponto inicial é desse tipo, mas você pode usar outros pontos de partida, principalmente os idiomas do grupo (idiomas aceitos por um autômato de permutação).$\{\emptyset, \{1\}, A^+, A^*\})\ $

2. Hierarquias de altura em estrela

O padrão geral é contar o número mínimo de estrelas aninhadas necessárias para expressar um idioma a partir das letras, mas várias variantes são possíveis, dependendo dos operadores básicos permitidos. Se você permite somente união e produto, define a altura da estrela restrita, se você permite união, complemento e produto, define a altura da estrela (generalizada) e se permite união, interseção e produto, define a altura da estrela intermediária . Existem idiomas de estrela restrita para cada n e efetivamente podem computar efetivamente a altura da estrela de um determinado idioma regular. Para a altura da estrela, a altura da estrela 0 é decidível ( idiomas sem estrelas ), existem idiomas da altura da estrela $n$$n$$0$$1$, mas nenhum idioma da altura da estrela é conhecido! Nenhum resultado é conhecido na altura intermediária da estrela. Veja este documento para uma visão geral.$2$

3. Hierarquias lógicas

Há muitos deles, mas um dos mais importante é o chamado hierarquia. Uma fórmula é dito ser um Σ n -Fórmula se que é equivalente a uma fórmula da forma de Q ( x 1 , . . . , X k ) φ onde φ é quantificador livre e Q ( x 1 , . . . , X k ) é uma sequência de $\Sigma_n$$\Sigma_n$$Q(x_1,...,x_k)\varphi$$\varphi$$Q(x_1,...,x_k)$$n$blocos de quantificadores de modo a que o primeiro bloco contém apenas quantificadores existenciais (nota que este primeiro bloco pode estar vazia), o segundo bloco quantificadores universais, etc. Da mesma forma, se é formado de n alternando blocos de quantificadores começando com um bloco de quantificadores universais (que novamente pode estar vazio), dizemos que φ é um Π n -Fórmula. Designam por Σ n (resp. Π n ) a classe de linguagens que podem ser definidas por uma Σ n -Fórmula (resp. Um $Q(x_1,...,x_k)$$n$$\varphi$$\Pi_n$$\Sigma_n$$\Pi_n$$\Sigma_n$fórmula n ) e por B Σ n o fechamento booleano daslínguas Σ n . Finalmente, deixe Δ n = Σ n ∩ Π n . A imagem geral se parece com essa. É claro que é necessário especificar a assinatura. Geralmente, há um predicado um para cada letra (e um x significa que existe uma carta um na posição X na palavra). Então pode-se adicionar um símbolo binário$\Pi_n$$\mathcal{B}\Sigma_n$$\Sigma_n$$\Delta_n = \Sigma_n \cap \Pi_n$$\mathbf{a}$$\mathbf{a}x$$a$$x$$<$(a hierarquia correspondente é a hierarquia Straubing-Thérien) e também um símbolo sucessor (a hierarquia correspondente é a hierarquia de profundidade dos pontos). Outras possibilidades incluem a predicado, a contar modulo n , etc. Veja novamente este papel para uma visão geral.$Mod$$n$

4. Hierarquias booleanas

O padrão geral (que não é específico para idiomas regulares) é devido a Hausdorff. Seja uma classe de idiomas que contém o conjunto vazio e o conjunto completo e fechado sob interseção finita e união finita. Deixe- D n ( L ) ser a classe de todas as línguas de forma X = X 1 - X 2 + ⋯ ± X n em que X i ∈ L e X 1 ⊇ X 2 ⊇ X 3 ⊇ ⋯ ⊇ X n . Desde a$\mathcal{L}$$\mathcal{D}_n(\mathcal{L})$

$$\begin{equation} X = X_1 - X_2 + \cdots \pm X_n \end{equation}$$ $X_i\in \mathcal{L}$$X_1 \supseteq X_2\supseteq X_3 \supseteq \cdots \supseteq X_n$, as classes D n ( L ) definir uma hierarquia e a sua união é o encerramento booleano de L . Novamente, vários pontos de partida são possíveis.$\mathcal{D}_n(\mathcal{L}) \subseteq \mathcal{D}_{n+1}(\mathcal{L})$$\mathcal{D}_n(\mathcal{L})$$\mathcal{L}$

5. Complexidade do grupo

Um resultado de Krohn-Rhodes (1966) afirma que todo DFA pode ser simulado por uma cascata de autômatos de redefinição (também chamados de flip-flop) e autómatos cujos semigrupos de transição são grupos finitos. A complexidade do grupo de um idioma é o menor número de grupos envolvidos nessa decomposição do DFA mínimo do idioma. Os idiomas de complexidade são exatamente os idiomas sem estrelas e existem idiomas de qualquer complexidade. No entanto, nenhuma caracterização efetiva das linguagens de complexidade 1 é conhecida.$0$$1$

6. Hierarquias herdadas da complexidade do circuito

O ponto de partida é o belo artigo que mostra em particular que a classe A C 0 ∩ R e g é decidível. Deixe Um C C ( q ) = { L ⊆ { 0 , 1 } * | L ⩽ Um C 0 M O D q } , em que H S D Q = { u ∈ { 0 , 1 $[1]$$AC^0 \cap Reg$$ACC(q) = \{ L \subseteq \{0,1\}^* \mid L \leqslant_{AC^0} MOD_q\}$ . Se q divide q ′ , então A C C ( q ) ⊆ A C C ( q ′ ) . Uma questão interessante é saber se A C C ( q ) ∩ R e g é decidível para qualquer q .$MOD_q = \{u \in \{0,1\}^* \mid |u|_1 \equiv 0 \bmod q\}$$q$$q'$$ACC(q) \subseteq ACC(q')$$ACC(q) \cap Reg$$q$

Barrington, David A. Mix; Compton, Kevin; Straubing, Howard; Thérien, Denis. Línguas regulares em N C 1 . J. Comput. Sci do sistema 44(1992)$[1]$$NC^1$

Expandindo o comentário: uma hierarquia natural é a induzida pelo número de estados do DFA.

Podemos definir que $\mathcal{L}_n = \{ L \mid \text{ exists an n-states DFA D s.t. } L(D) = L \}$

( , | Q | = n )$D = \{Q, \Sigma, \delta, q_0, F \}$$|Q| = n$

Claramente (basta usar estados mortos)$\mathcal{L}_n \subseteq \mathcal{L}_{n+1}$

Para mostrar a inclusão adequada , podemos simplesmente escolher o idioma: L n + 1 = { a i ∣ i ≥ n } ∈ L n + $\mathcal{L}_n \subsetneq \mathcal{L}_{n+1}$$L_{n+1} = \{ a^{i} \mid i \geq n \} \in \mathcal{L}_{n+1}$

Muito informalmente: o DFA (mínimo) que reconhece deve ser uma "cadeia de estados" de comprimento n + 1 : q 0 → a q 1 → a . . . → a q n , F = { q n } e q n → a q n ( q n possui um auto-loop). Portanto, n + 1 estados são suficientes para aceitar$\{ a^{i} \mid i \geq n \}$$n+1$$q_0 \to^a q_1 \to^a ... \to^a q_n$$F = \{q_n\}$$q_n \to^a q_n$$q_n$$n+1$ . Mas todo caminho aceitante de q 0 até um estado final q f que é estritamente menor que n + 1 deve aceitar alguns a i com i < n que não pertence a L n + 1 , portanto, um DFA com n ou menos estados não pode aceite L n + 1 .$L_{n+1}$$q_0$$q_f$$n+1$$a^{i}$$i < n$$L_{n+1}$$n$$L_{n+1}$

Recentemente, deparei-me com este artigo, que pode dar outro exemplo relevante (cf. a última frase do resumo):

Guillaume Bonfante, Florian Deloup: O gênero das línguas regulares.

Resumo: O artigo define e estuda o gênero de autômatos determinísticos de estado finito (FSA) e linguagens regulares. De fato, uma FSA pode ser vista como um gráfico para o qual surge a noção de gênero. Ao mesmo tempo, um FSA tem uma semântica através de sua linguagem subjacente. É então natural estabelecer uma conexão entre as línguas e a noção de gênero. Depois de introduzir e justificar a noção de gênero para linguagens regulares, [...] construímos linguagens regulares de gênero grande arbitrário: a noção de gênero define uma hierarquia apropriada de linguagens regulares.

Existem várias hierarquias naturais para idiomas regulares de palavras infinitas, que transmitem uma noção de "complexidade do idioma", por exemplo:

• Número de classificações necessárias em um autômato de paridade determinística
• Hierarquia de Wadge (ou Wagner): complexidade topológica, níveis de .$\omega^\omega$

Essas hierarquias podem ser generalizadas para idiomas regulares de árvores infinitas, para as quais novas hierarquias aparecem, veja, por exemplo, esta resposta .