Como os termos-

Eu estive pensando sobre estas perguntas:

Existe um cálculo lambda digitado que seja consistente e Turing completo?

/cs/65003/if-%CE%BB-xxx-has-a-type-then-is-the-type-system-inconsistent

e já existem algumas questões difíceis de responder relacionadas na configuração sem tipo! Mais especificamente, estou curioso para saber se podemos recuperar a integridade de Turing da não terminação da seguinte maneira:

Pergunta: Dado um (puro) $\lambda$ -termo $t$ com nenhuma forma normal cabeça fraca, não existe sempre existir um elemento de combinação de ponto fixo $Y_t$ de tal forma que
$Y_{t} (λ x . x) = t$ $Y_t\ (\lambda x.x) = t$

Todas as igualdade são tomadas no módulo $\beta\eta$ .

Na verdade, eu suspeito que esta versão da pergunta seja falsa , para que se possa relaxar a questão para combinadores em loop , em que um combinador em loop $Y$ é definido como um termo tal que para cada $f$

Y f = f (Y^{'} f)

$Y\ f=f\ (Y'\ f)$ onde

Y^{'}

$Y'$ é novamente necessário que seja um combinador de loop. Isso é suficiente para definir funções recursivas como de costume, é claro.

De maneira mais geral, estou interessado em encontrar maneiras "naturais" de passar de um sem terminação $t$ para um combinador de loop, mesmo que a equação acima não seja satisfeita.

Eu também estou interessado em versões mais fracos da pergunta acima, por exemplo, $t$ pode ser considerado como sendo uma aplicação $t\equiv t_1\ t_2\ldots t_n$ a cada $t_i$ na forma normal (embora eu não tenho certeza de que realmente ajuda).

Até agora: a abordagem natural é aplicar $t$ "pimenta" de $f$ todo o processo, por exemplo

Ω : = (λ x . x x) (λ x . x x)

$\Omega:=(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$

torna-se o habitual

Y_{Ω} : = λ f . (λ x . f (x x)) (λ x . f (x x))

$Y_\Omega:= \lambda f.(\lambda x. f\ (x\ x))\ (\lambda x.f\ (x\ x))$

A idéia é reduzir a cabeça de $t$ para um aplicativo lambda $\lambda x. t'$ e substitua-o por $\lambda x.f\ t'$ , mas o próximo passo não é claro (e eu sou cético quanto a isso poder levar a qualquer coisa).

Não tenho certeza eu entendo o suficiente sobre árvores Böhm para ver se eles têm alguma coisa a dizer, mas eu duvido muito, desde $\Omega$ Böhm árvore 's é simplesmente $\bot$ , que parece em nada com a pessoa certa para $Y_\Omega$ : uma árvore infinita de abstrações.

Edit : Um amigo meu observou que esta abordagem ingênua não funciona com o termo:

(λ x . x x x) (λ x . x x x)

$(\lambda x.x\ x\ x)(\lambda x.x\ x\ x)$ A abordagem ingênua daria

(λ x . f (x x x)) (λ x . f (x x x))

$(\lambda x.f\ (x\ x\ x))(\lambda x.f\ (x\ x\ x))$ Mas este não é um combinador de pontos fixos! Isso pode ser corrigido substituindo a segunda aplicação de

f

$f$ por

, mas então

não dá ao termo original. Não está claro se esse termo é um contra-exemplo para a pergunta original (e certamente não é um contra-exemplo para a mais geral).

λ y z . f y

$\lambda y z.f\ y$

f \mapsto I

$f\mapsto \mathrm{I}$

lambda-calculus combinatory-logic

— cody
fonte

Acredito que o requisito de que t não tenha a forma normal da cabeça deve ser reforçado para excluir também formas normais da cabeça fraca. Se t é capaz de produzir um lambda, então, como na posição da cabeça você sempre tem um combinador de ponto de fixação (começando com f = id), o lambda deve ser produzido por ele, isso não é possível.

— Andrea Asperti 15/03/19

@AndreaAsperti você está certo, é claro. Vou alterar a pergunta.

— Cody

Existem vários aspectos para essa pergunta muito legal, portanto estruturarei esta resposta de acordo. $\newcommand{\setof}[1]{\{#1\}}$ $\newcommand{\thra}{\twoheadrightarrow}$ $\newcommand{\codeof}[1]{\lceil #1 \rceil}$

1. A resposta para a pergunta em caixa é não . Os termo sugerido pelo seu amigo é realmente um contra-exemplo. $\Omega_3 = (\lambda x.xxx)(\lambda x.xxx)$

Foi observado anteriormente nos comentários que se tem contra-exemplos como o "ogro" , até que a questão seja restrita a termos sem forma normal de cabeça fraca. Tais termos são conhecidos comotermos zero. Estes são termos que nunca se reduzem a um lambda, sob qualquer substituição. $K^\infty=Y K$

Para qualquer combinador de ponto fixo (fpc) , $Y$ é o chamadotermomudo(AKA "root-active"): cada redução do mesmo reduz-se ainda mais a um redex. $Y I$

não é mudo; nem é como é manifestado pela inspeção de seu conjunto de redutos, que é $K^\infty$ $\Omega_3$ $-$

{Ω_{3} \underset{k}{\underset{⏟}{(λ x . x x x) \dots (λ x . x x x)}} ∣ k \in N}

$\setof{\Omega_3 \underbrace{(\lambda x. xxx) \cdots (\lambda x. xxx)}_k \mid k \in \mathbb{N}}$

Em vez de apresentar um argumento preciso por que é mudo para todos os fpcs $Y I$ $Y$ (de fato, para qualquer combinador de loop) que pode ser trabalhoso, mas esperançosamente claro o suficiente , tratarei a generalização óbvia de sua pergunta, restringindo também os termos mudos. $-$ $-$

Termos mudos são uma subclasse de termos zero que são uma subclasse de termos insolúveis. Juntas, essas são talvez as escolhas mais populares para o conceito de "sem sentido" ou "indefinido" no cálculo lambda, correspondendo às árvores triviais de Berarducci, Levy-Longo e B \ ohm, respectivamente. A estrutura de noções de termos sem sentido foi analisada em detalhes por Paula Severi e Fer-Jan de Vries. [1] Os termos mudos constituem o elemento inferior dessa treliça, ou seja, a noção mais restritiva de "indefinido".

2. Seja um termo mudo e seja um combinador de loop com a propriedade que $M$ $Y$ . $YI = M$

Primeiro, argumentamos que, para uma variável nova , se parece muito com o você descreveu, obtido por "aspersão $z$ $Yz$ $Y_M$ $z$ em torno de" alguns reduct de . $M$

Por Church-Rosser, e têm um reduto comum, . Faça uma redução padrão . Todo subtermo de corresponde a um subtermo único de sob esta redução. Para qualquer subtermo , fatores como $YI$ $M$ $M'$ $R : YI \thra_s M'$ $M'$ $YI\equiv Yz[z:=I]$ $C[N]=M'$ $R$ , em que a perna do meio é uma redução de cabeça fraca (e etapa final é interna). é "guardado" por umse esta segunda etapa contrair algum redex, comum descendente da substituição. $YI \thra C[N_0] \thra_{wh} C[N_1] \thra_i C[N]$ $N$ $z$ $I P$ $I$ $[z:=I]$

Obviamente, tem que guardar alguns subtermos de , caso contrário seria mudo também. Por outro lado, deve-se ter cuidado para não guardar os subtermos necessários para a não terminação, pois, caso contrário, não poderá desenvolver a árvore B \ "ohm infinita de um combinador em loop. $Y$ $M$

Assim, basta encontrar um termo mudo no qual todo subtermo, de cada redução, é necessário para a não normalização, no sentido de que colocar uma variável na frente desse subtermo produz um termo normalizador.

Considere , onde . É como , mas a cada iteração, verificamos que a ocorrência de na posição do argumento não é "bloqueada" por uma variável head, alimentando-a com uma identidade. Colocar um na frente de qualquer subtermo resultará em uma forma normal de forma , onde cada é , ou a " $\Psi = W W$ $W = \lambda w. w I w w$ $\Omega$ $W$ $z$ $zP_1\cdots P_k$ $P_i$ $I$ $W$ $z$ borrão " deles. Então $\Psi$ é um contra-exemplo para a questão generalizada.

TEOREMA. Não existe um combinador de loop tal que $Y$ . $YI = \Psi$

PROVA. O conjunto de todas as redutos de é . Para ser conversível com , reduzir a um deles. O argumento é idêntico em todos os casos; para concreção, suponhamos que . $\Psi$ $\setof{WW,WIWW,IIIIWW,IIIWW,IIWW,IWW}$ $\Psi$ $YI$ $YI \thra IIWW$

Qualquer redução padrão pode ser tomada como $YI \thra_s IIWW$

\begin{aligned} Y Eu ↠_{W} P N_{4}, P ↠_{W} Q N_{3}, Q ↠_{W} N_{1} N_{2}, portanto Y Eu ↠_{W} N_{1} N_{2} N_{3} N_{4} \\ N_{1} ↠ Eu, N_{2} ↠ Eu, N_{3} ↠ W, N_{4} ↠ W \end{aligned}

$\begin{align*} YI \thra_w P N_4, P \thra_w Q N_3, Q \thra_w N_1 N_2, \text{thus } YI \thra_w N_1 N_2 N_3 N_4\\ N_1 \thra I, N_2 \thra I, N_3 \thra W, N_4 \thra W \end{align*}$

Vamos nos referir à redução como , e as reduções a partir de como $YI \thra_w N_1 N_2 N_3 N_4$ $R_0$ $N_i$ $R_i$ .

Estas reduções podem ser levantado através da substituição para produzir de modo a que é a composição $[z:=I]$

\begin{aligned} R_{0 0}^{z} : Y z ↠ z^{k} (M_{1} M_{2} M_{3} M_{4}) \\ N_{Eu} \equiv M_{Eu} [z : = Eu] \end{aligned}

$\begin{align*} R^z_0 : Yz \thra z^k(M_1 M_2 M_3 M_4)\\ N_i \equiv M_i[z:=I] \end{align*}$

R_{0}

$R_0$

Y I \overset{R_{0}^{z} [z := I]}{↠} I^{k} (N_{1} \dots N_{4}) ↠_{w}^{k} N_{1} \dots N_{4}

$YI \stackrel{R^z_0[z:=I]}{\thra} I^k(N_1 \cdots N_4) \thra^k_w N_1 \cdots N_4$

$R_i : N_i \thra N \in \setof{I,W}$

\begin{aligned} R_{Eu}^{z} : M_{Eu} ↠ N_{Eu}^{z} \\ R_{Eu} : N_{Eu} \overset{R_{Eu}^{z} [z : = Eu]}{↠} N_{Eu}^{z} [z : = Eu] ↠_{Eu} N \end{aligned}

$\begin{align*} R^z_i : M_i \thra N^z_i\\ R_i : N_i \stackrel{R^z_i[z:=I]}{\thra} N^z_i[z:=I] \thra_I N \end{align*}$

$R_i$ $I$ $N^z_i[z:=I]$ $N$ $N^z_i$

$N^z_i$ $z$ $N$ $z$ $N$ $N \in \setof{I,W}$ $N^z_i$

\begin{aligned} z^{k_{1}} (λ x . z^{k_{2}} (x)) \\ z^{k_{1}} (λ W . z^{k_{2}} (z^{k_{3}} (z^{k_{5}} (z^{k_{7}} (W) z^{k_{8}} (λ x . z^{k_{9}} (x))) z^{k_{6}} (W)) z^{k_{4}} (W))) \end{aligned}

$\begin{align*} &z^{k_1}(\lambda x. z^{k_2}(x))\\ &z^{k_1}(\lambda w. z^{k_2}( z^{k_3}( z^{k_5}( z^{k_7}(w) z^{k_8}(\lambda x. z^{k_9}(x)) ) z^{k_6}(w) ) z^{k_4}(w) )) \end{align*}$

$M_1 M_2 M_3 M_4 \thra N^z_1 N^z_2 N^z_3 N^z_4$ $N^z_i$ $z$ $I$ $i =1,2$ $W$ $i=3,4$

Ao mesmo tempo, o termo $N^z_1 N^z_2 N^z_3 N^z_4$ ainda deve reduzir para produzir a infinita fpc Bohm tree $z(z(z(\cdots)))$ . Portanto, deve haver uma "aspersão" $z^{k_j}$ em um dos $N^z_i$ que chega infinitamente frequentemente à cabeça do termo, mas não bloqueia reduções adicionais dele.

E agora terminamos. Inspecionando cada $N^z_i$ , para $i \le 4$ e cada valor possível de $k_j$ , para $j \le 2+7\lfloor \frac{i-1}{2} \rfloor$ , descobrimos que não existe tal aspersão.

Por exemplo, se modificarmos o último $W$ dentro $IIWW$ Como $W^z = \lambda w. z(wIww)$ , obtemos a redução de normalização

Eu Eu W W^{z} \to Eu W W^{z} \to W W^{z} \to W^{z} Eu W^{z} W^{z} \to z (Eu Eu Eu Eu) W^{z} W^{z} ↠ z Eu W^{z} W^{z}

$IIWW^z \to I W W^z \to WW^z \to W^z I W^z W^z \to z (I I I I) W^z W^z \thra z I W^z W^z$

(Notar que $\Omega$ admite tal aspersão precisamente porque um certo subtermo dele pode ser "protegido" sem afetar a não normalização. A variável vem na posição principal, mas redexes suficientes permanecem abaixo.)

3. A "transformação por aspersão" tem outros usos. Por exemplo, colocando $z$ na frente de cada redex em $M$ , obtemos um termo $N = \lambda z. M_z$ que é uma forma normal, mas satisfaz a equação $N I = M$ . Isso foi usado por Statman em [2], por exemplo.

4. Como alternativa, se você relaxar o requisito de que $Y I = M$ , você pode encontrar vários fpcs (fracos) $Y$ que simulam a redução de $M$ , enquanto produz uma cadeia de $z$ s ao longo do caminho. Não tenho certeza se isso responderia à sua pergunta geral, mas certamente há várias transformações (computáveis) $M \mapsto Y_M$ que produzem combinadores de loop para cada mudo $M$ , de tal maneira que o gráfico de redução de $Y_M$ é estruturalmente semelhante ao de $M$ . Por exemplo, pode-se escrever

Y ⌈ M ⌉ z = {\begin{cases} z (Y ⌈ P [x : = Q] ⌉ z) & M \equiv (λ x . P) Q \\ Y ⌈ N ⌉ z & M não é um redex e M \to_{W h} N \end{cases}

$Y \codeof{M} z = \begin{cases} z (Y \codeof{P[x:=Q]} z) &M\equiv (\lambda x.P)Q\\ Y \codeof{N} z &M \text{ is not a redex and }M \to_{wh} N \end{cases}$

[1] Severi P., de Vries FJ. (2011) Decompondo a Malha de Conjuntos Sem Significado no Cálculo Infinitário de Lambda. In: Beklemishev LD, de Queiroz R. (eds) Lógica, Linguagem, Informação e Computação. WoLLIC 2011. Notas de aula em Ciência da Computação, vol 6642.

[2] Richard Statman. Não há combinador hiper-recorrente S, K. Relatório de Pesquisa 91–133, Departamento de Matemática, Universidade Carnegie Mellon, Pittsburgh, PA, 1991.

— Andrew Polonsky
fonte

Essa resposta é ótima e provavelmente vou aceitá-la. No entanto, não sei ao certo quais são os teoremas reais que você está descrevendo, exceto "não há combinador de loop"

Y

$Y$ de tal modo que

Y I = Ω_{3}

$Y\ I=\Omega_3$ ". Acho que declarar os teoremas separadamente tornará os argumentos muito mais fáceis de seguir.

— Cody

Bom ponto. Acabei de atualizar a resposta.

— Andrew Polonsky