Erro no exemplo da Wikipedia CSG?

Estou confuso sobre o exemplo dado no artigo da Wikipedia sobre gramática sensível ao contexto:

https://en.wikipedia.org/wiki/Context-sensitive_grammar

Disclamer : Eu já mudei a seção discutida no artigo da wikipedia, portanto, o estado atual do artigo será diferente do que estou discutindo nesta pergunta. A versão original está aqui: https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Context-sensitive_grammar&oldid=747616366

A seguinte gramática, com o símbolo inicial S, gera o idioma canônico não isento de contexto {anbncn: n ≥ 1}:

1. S → abc
2. S → a SB c
3. c B → WB
4. WB → WX
5. WX → BX
6. BX → B c
7. b B → bb

Eles não afirmam diretamente que essa gramática é sensível ao contexto , mas a próxima frase implica que eles a consideram sensível ao contexto :

As regras 3 a 6 permitem trocar sucessivamente cada cB por Bc (quatro regras são necessárias para isso, uma vez que uma regra cB → Bc não se encaixaria no esquema αAβ → αγβ)

Então eles apelam para a forma canônica de regras gramaticais sensíveis ao contexto: αAβ → αγβ, implicando que toda a gramática é sensível ao contexto.

O que me deixa confuso é a regra nº 3 , que parece não se encaixar no esquema αAβ → αγβ. Considero o terminal aqui como parte de , variável como no esquema, está vazio. Isso implica que não pode produzir , pois deve ser salvo no mesmo local ( ).c B → c $c$B A β c B W B $\alpha$$B$$A$$\beta$$cB$$WB$$c$$cB\rightarrow c\dots$

Perdi alguma coisa ou essa gramática foi realmente colocada aqui por engano (como não é realmente sensível ao contexto)?

Se não me engano, é possível uma gramática CS mais simples. Aqui está:

1. $S \rightarrow ABSc$
2. $S \rightarrow Abc$
3. $BA \rightarrow XA$
4. $XA \rightarrow XY$
5. $XY \rightarrow AY$
6. $AY \rightarrow AB$
7. $A \rightarrow a$
8. $Bb \rightarrow bb$ .

Uma derivação para a sequência é$aaabbbccc$

$\Rightarrow_1 ABSc\\\Rightarrow_1 AB\textbf{ABSc}c\\\Rightarrow_2 ABAB\textbf{Abc}cc\\\Rightarrow_3 A\textbf{XA}BAbccc\\\Rightarrow_4 A\textbf{XY}BAbccc\\\Rightarrow_5 A\textbf{AY}BAbccc\\\Rightarrow_6 A\textbf{AB}BAbccc\\\dots\\\Rightarrow_{3-6}AAB\textbf{AB}bccc\\\Rightarrow_{3-6}AA\textbf{AB}Bbccc\\\Rightarrow_{7...}\textbf{aaa}BBbccc\\\Rightarrow_8 aaaB\textbf{bb}ccc\\\Rightarrow_8 aaa\textbf{bb}bccc$

Na verdade, como vários espectadores concordaram que a gramática original estava incorreta. Como @ EmilJeřábek notou, já havia discussões sobre esse problema aqui: https://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Context-sensitive_grammar#Wrong_grammar_for_language

Portanto, parece que nem a gramática de 7 regras (que eu estava perguntando acima na minha pergunta), nem a gramática de 9 regras, que estava aqui antes e presente em artigos de outros idiomas, estão incorretas. Esta gramática de 9 regras:

1. S → a BC
2. S → a SBC
3. CB → WB
4. WB → WC
5. WC → BC
6. a B → ab
7. b B → bb
8. b C → bc
9. c C → cc

é um exemplo incorreto, pois pode produzir palavras do formato " aaa bb cccc" `que não se encaixam na fórmula .$a^nb^nc^n$

Por isso, sugiro o aprimoramento desta gramática, substituindo as regras 3-5 a quatro:

1. S → a BC
2. S → a SBC
3. CB → CZ
4. CZ → WZ
5. WZ → WC
6. WC → BC
7. a B → ab
8. b B → bb
9. b C → bc
10. c C → cc

As regras 3-6 ajudarão a evitar problemas com a substituição de CB para WB e depois de WC para BC.

EDIT : Como @ EmilJeřábek sugeriu novamente, as regras 7 e 8 podem ser simplificadas para uma regra$B\rightarrow b$.