Correspondência bipartida com dominação de graus

Dado um gráfico bipartido não ponderado . É verdade que sempre existe uma correspondência não vazia M ⊆ E (não necessariamente máxima), de modo que para todo ( i , j ) ∈ E com i correspondido e j sem correspondência, ele detém deg ( i ) > deg ( j ) ? Aqui ( i , j ) não está ordenado, ou seja, eu posso estar em ambos os lados.$G=(V, E)$$M\subseteq E$$(i,j)\in E$$i$$j$$\deg(i)>\deg(j)$$(i,j)$$i$

Minha intuição sobre por que isso é verdade é que, quando todo vértice em tem o mesmo grau, sempre há uma correspondência perfeita, que é a correspondência que exigimos. Para algumas estruturas gráficas simples, como árvores ou gráficos monociclicos, é desejada uma correspondência máxima, uma vez que o grau de uma folha é sempre menor que seu pai.$V$

Tentei provar isso pelo teorema de Hall, mas falhei. Parte da complexidade desse problema é que a solução nem sempre é uma correspondência máxima. Por exemplo, considerando um gráfico que consiste em dois 4 ciclos e d e f g . Então M = { a b , c d } e suas combinações simétricas são as únicas soluções, que não são máximas.$abcd$$defg$$M=\{ab,cd\}$

Nem sempre existe uma correspondência com sua propriedade em um gráfico bipartido.

Considere, por exemplo, o gráfico onde$G = (V, E)$

• e$V = \{a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3, c_1, c_2, d_1, d_2, x\}$
• $E = \{a_1, a_2\} \times \{c_1, c_2, x\} \cup \{b_1, b_2\} \times \{d_1, d_2, x\} \cup \{(a_3, c_1), (a_3, d_2), (a_3, x), (b_3, d_1), (b_3, c_2), (b_3, x)\}$

Este gráfico é bipartido (com como uma parte e V 2 = { c 1 , c 2 , d 1 , d 2 , x } como o outro). Todo vértice neste gráfico, exceto x, possui o grau 3 . O vértice x tem grau 6 .$V_1 = \{a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3\}$$V_2 = \{c_1, c_2, d_1, d_2, x\}$$x$$3$$x$$6$

Suponha, por uma questão de contradição, que exista um correspondente à sua propriedade. Considere quaisquer dois vértices adjacentes v 1 e v 2 que têm o mesmo grau. Acontece que as condições em M implicam que esses dois vértices tenham o mesmo status de correspondência ou não (ou seja, ambos ou nenhum dos vértices devem corresponder em M ). Isso pode ser provado de maneira muito simples por contradição: suponha que um vértice (wlog v 1 ) seja correspondido e o outro não; então, como existe uma aresta entre eles, a propriedade fornecida em M nos diz que d e g ( v 1$M$$v_1$$v_2$$M$$M$$v_1$$M$ , que é uma contradição.$deg(v_1) > deg(v_2)$

Assim, o status correspondente ou não de vértices adjacentes do mesmo grau é o mesmo. Então, se um conjunto de vértices tem a propriedade de que todo vértice tem o mesmo grau e o subgráfico induzido por esses vértices está conectado, podemos aplicar essa regra várias vezes para concluir que todos os vértices no conjunto devem ter o mesmo pareamento ou não status. Em particular, em o status de correspondência ou não de todos os vértices em V ∖ { x } deve ser o mesmo, pois todos esses vértices possuem grau 3 e estão conectados. Em outras palavras, cada vértice em V ∖ { x } é correspondido em M ou nenhum vértice é correspondido em $G$$V \setminus \{x\}$$3$$V \setminus\{x\}$$M$$M$. Se o status de correspondência ou não desses vértices for "correspondido", todos os vértices na parte da bipartição serão correspondidos em M ; isso é impossível, pois há mais vértices em V 1 do que na outra parte V 2 . Se o status correspondente ou não desses vértices for "não correspondente", o único vértice em G que pode ser correspondido em M é x ; como uma correspondência não vazia (como M deve ser) corresponde a pelo menos dois vértices, vemos que esse caso também é impossível.$V_1$$M$$V_1$$V_2$$G$$M$$x$$M$

Por contradição, uma correspondência com a propriedade em questão não existe no G .$M$$G$