(Como) Poderíamos descobrir / analisar problemas de NP na ausência do modelo de computação de Turing?

De um ponto de vista puramente abstrato do raciocínio matemático / computacional, (como) alguém poderia descobrir ou raciocinar sobre problemas como 3-SAT, Subset Sum, Traveling Salesman etc.? Será que vamos ser mesmo capaz de raciocinar sobre eles de qualquer maneira significativa com apenas o funcional ponto de vista? Seria possível?

Estive refletindo sobre essa questão puramente a partir de um ponto de auto-indagação como parte do aprendizado do modelo de cálculo do cálculo lambda. Entendo que é "não intuitivo" e é por isso que Godel favoreceu o modelo de Turing. No entanto, gostaria apenas de saber quais são as limitações teóricas conhecidas desse estilo funcional de computação e quanto seria um obstáculo para analisar a classe de problemas NP?

Você pode querer procurar semântica de custos para linguagens funcionais . Essas são várias medidas de complexidade computacional para linguagens funcionais que não passam por nenhum tipo de máquina de Turing, RAM, etc. Um bom lugar para começar a procurar é este post do Lambda the Ultimate , que tem boas referências adicionais.

A Seção 7.4 dos Fundamentos práticos de Bob Harper para linguagens de programação explica a semântica dos custos.

O artigo Sobre a utilidade relativa de bolas de fogo de Accattoli e Coen mostra que o cálculo tem uma explosão linear no máximo em relação ao modelo de máquina RAM.$\lambda$

Em resumo, neste outro planeta as coisas seriam praticamente as mesmas com relação ao NP, mas haveria menos transbordamentos de buffer e não haveria tanto lixo por aí.

A pedido de Andrej e PhD, estou transformando meu comentário em uma resposta, com desculpas por autopublicidade.

Recentemente, escrevi um artigo no qual analiso como provar o teorema de Cook-Levin ( $\mathsf{NP}$ completidade do SAT) usando uma linguagem funcional (uma variante do λ-cálculo) em vez de máquinas de Turing. Um resumo:

• a noção principal é a de aproximações afins, isto é, aproximar programas arbitrários por afins (que podem usar suas entradas no máximo uma vez); a intuição é que os tão afim $$\frac{\text{Boolean circuits}}{\text{Turing machines}}=\frac{\text{affine $\lambda$-terms}}{\text{$\lambda$-terms}}$$ $\lambda$ -Termos computações arbitrárias aproximados arbitrário bem como circuitos booleanos;
• o resultado é que, no $\lambda$ mundo dos cálculos , a prova é muito "de nível superior", usa teoria das ordens, continuidade de Scott etc. em vez de invadir circuitos booleanos; em particular, o slogan "computação é local" (que é dada por muitos como a mensagem subjacente ao teorema de Cook-Levin) se torna "computação é contínua", como esperado;
• no entanto, o "natural" $\mathsf{NP}$ não é problema -completo CIRCUITO sab mas HO CIRCUITO sab, uma espécie de "solvabilidade" de X-termos lineares ou, mais precisamente, as redes à prova lógica lineares (que são como de ordem superior circuitos booleanos) ;
• é claro, pode-se reduzir HO CIRCUIT SAT para CIRCUIT SAT, provando o teorema comum de Cook-Levin e os detalhes sangrentos e de baixo nível são todos movidos para a construção dessa redução.

Portanto, a única coisa que mudaria "deste lado do planeta" é, talvez, que consideraríamos um problema relacionado ao cálculo λ, em vez de um problema relacionado ao circuito booleano, ser o "primordial" $\mathsf{NP}$ - problema completo.

Uma observação lateral: a prova acima mencionada pode ser reformulada em uma variante do cálcio do Accattoli com substituições explícitas lineares mencionadas na resposta de Andrej, que talvez seja mais padrão do que o λ- cálcio que uso no meu trabalho.$\lambda$$\lambda$

Edição posterior: minha resposta foi um pouco mais do que recortar e colar do meu comentário e percebo que algo mais deve ser dito sobre o cerne da pergunta que, como eu a entendo, é: seria possível desenvolver a teoria de $\mathsf{NP}$ -completeness sem máquinas de Turing?

Concordo com o comentário de Kaveh: a resposta é sim , mas talvez apenas retrospectivamente. Ou seja, quando se trata de complexidade (contando tempo e espaço), as máquinas de Turing são imbatíveis na simplicidade, o modelo de custo é evidente por tempo e quase evidente por espaço. No cálculo- , as coisas são muito menos evidentes: modelos de custo de tempo como os mencionados por Andrej e dados no livro de Harper são de meados dos anos 90, modelos de custo de espaço ainda quase inexistentes (conheço essencialmente um trabalho publicado Em 2008$\lambda$ ).

Portanto, é claro que podemos fazer tudo usando a perspectiva puramente funcional, mas é difícil imaginar um universo alternativo no qual Hartmanis e Stearns definam classes de complexidade usando $\lambda$ e, 30 a 50 anos depois, as pessoas começam a adaptar seu trabalho a Turing máquinas

$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{coNP}$$\lambda$

$\lambda$$\lambda$

$\mathsf{NP}$$\lambda$, realmente não importa se você sabe que suas intuições são sólidas. As máquinas de Turing deram uma resposta imediata e viável, e as pessoas não sentiram (e ainda não sentem) a necessidade de ir mais longe.