"A" categoria de máquinas de Turing?

Disclaimer: Eu sei muito pouco sobre a teoria da complexidade.

Sinto muito, mas não há realmente nenhuma maneira de fazer essa pergunta sem ser (terrivelmente) conciso:

Quais devem ser os morfismos na categoria "a" das máquinas de Turing?

Isso é obviamente subjetivo e depende da interpretação da teoria, portanto, uma resposta a essa pergunta deve idealmente fornecer algumas evidências e raciocínios que também apóiem a resposta.

Eu gostaria de enfatizar que estou procurando uma categoria de máquinas de Turing e não de linguagens formais, por exemplo. Em particular, acho que meus morfismos devem conter informações mais precisas do que reduções ou algo assim (não tenho certeza).

É claro que, se já existe uma categoria bem conhecida e usada na literatura, eu gostaria de saber o que é.

cc.complexity-theory turing-machines ct.category-theory

— Saal Hardali
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Você mesmo disse - funções computáveis.

— Yuval Filmus

@ Rafael, o fato é que você nunca define realmente uma estrutura até colocá-la em uma categoria. É quando os recursos não essenciais da definição específica são removidos.

— Saal Hardali

@SaalHardali Lembre-se de que nem todos concordam com a promessa de salvação feita pelos teóricos da categoria. De fato, muitos reviram os olhos.

— Raphael

@JoshuaGrochow Há um morfismo marcado

f

$f$ de

T_{1}

$T_1$ a

T_{2}

$T_2$ se

f

$f$ reduz

T_{2}

$T_2$ para

T_{1}

$T_1$ (ou talvez o contrário), que é

T_{1} (x) = T_{2} (f (x))

$T_1(x) = T_2(f(x))$ . Isto é, digamos, para máquinas que, em cada entrada, param ou não, mas não têm mais saída.

— Yuval Filmus

Além: por que as TMs devem ser objetos? Eles também podem ser morfismos.

— Martin Berger

Respostas:

Saal Hardali mencionou que queria que uma categoria de máquinas de Turing fizesse geometria (ou pelo menos a teoria da homotopia). No entanto, existem muitas maneiras diferentes de alcançar objetivos semelhantes.

Existe uma analogia muito forte entre computabilidade e topologia. A intuição é que o término / não término é como o espaço de Sierpinski, pois o término é finitamente observável (ou seja, aberto) e o não término (não aberto). Veja as notas da palestra de Martin Escardo Topologia sintética de tipos de dados e espaços clássicos para uma introdução moderada, porém abrangente, a essas idéias.
Em computação concorrente e distribuída, geralmente é útil pensar nas possíveis execuções de um programa como um espaço e, em seguida, várias restrições de sincronização podem ser expressas como propriedades homotópicas do espaço. (O fato de a execução ter uma ordem de tempo parece exigir teoria da homotopia direcionada, em vez de teoria comum da homotopia.)

Veja o artigo de Eric Goubault: Algumas perspectivas geométricas sobre a teoria da concorrência para obter mais detalhes. Veja também o artigo vencedor do prêmio Goedel, de Maurice Herlihy e Nir Shavit, The Topological Structure of Asynchronous Computability , que resolveu alguns problemas abertos de longa data na teoria da programação distribuída.
Uma terceira idéia vem da teoria do tipo homotopia, da descoberta de que a teoria do tipo Martin-Löf é (provavelmente?) Uma apresentação sintática (no sentido de geradores e relações) da teoria dos ômega-grupóides - ou seja, os modelos de resumo teoria da homotopia. A melhor introdução a essas idéias é o livro de teoria dos tipos de homotopia .

Observe que todas essas idéias são muito diferentes umas das outras, mas todas ainda usam intuições geométricas! E ainda existem outros, que eu não conheço, como os usos que surgem na teoria da complexidade geométrica e a maneira como as teorias dos circuitos podem ser descritas em termos da teoria (co) homológica dos gráficos .

Basicamente, quando você está fazendo CS, a geometria é uma ferramenta - você a usa para formalizar suas intuições, para que você possa aproveitar o enorme corpo de trabalho que foi feito nela. Mas é um amplificador de idéias, não um substituto para ter idéias!

— Neel Krishnaswami
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Se seus objetos são máquinas de Turing, existem várias possibilidades razoáveis de morfismos. Por exemplo:

1) Considere as máquinas de Turing como os autômatos e os morfismos usuais dos autômatos (mapas entre os alfabetos e os estados consistentes entre si) que também preservam os movimentos dos cabeçotes da fita ou invertem exatamente eles (por exemplo, sempre que a TM de origem for para a esquerda, a TM de destino será para a direita e vice-versa).

2a) Considere simulações ou bisimulações .

$T_1$ $T_2$ $f$ $T_1(x) = T_2(f(x))$ $x$

3) Considere o gráfico de transição da máquina de Turing (cada vértice é uma descrição completa do estado da máquina e das fitas, com arestas direcionadas correspondentes às transições que a TM faria) e considere os morfismos dos gráficos. No entanto, para as TMs, esse é um relacionamento muito grosseiro, pois ignora essencialmente a natureza local da computação (ignora, por exemplo, qual é o conteúdo das fitas).

Penso que a verdadeira questão é: o que você quer saber sobre as MTs ou fazer com elas? Na ausência disso, é difícil apresentar argumentos para uma definição sobre outra, além da naturalidade (no sentido usual da palavra, não no sentido categórico).

— Joshua Grochow
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Sou muito novo nesse tipo de matemática. Eu li no passado sobre a teoria da complexidade, mas só recentemente eu a peguei novamente depois que vi alguém na internet alegando que de alguma forma as técnicas cohomológicas entrariam na teoria da complexidade no próximo século e isso me interessou. Após algumas leituras, percebi que, além de alguma compreensão superficial da definição de uma máquina de turing, basicamente não tenho idéia do que ela codifica exatamente. Foi assim que cheguei à pergunta. Então, você poderia dizer que, em um nível muito rudimentar, estou tentando imaginar como a cohomologia pode entrar na teoria da complexidade.

— Saal Hardali

Percebo que isso é extremamente prematuro para alguém como eu, que entende muito pouco sobre esse assunto, e que ainda queria brincar um pouco com essa idéia de "fazer a teoria da homotopia na categoria de máquinas de turing". Sua resposta é boa e certamente pretendo ler mais sobre aspectos dela. Obrigado.

— Saal Hardali

@SaalHardali: Estou curioso para saber onde você lê que a cohomologia entra na teoria da complexidade? Eu posso pensar em duas maneiras, mas ainda não vejo uma rota via teoria do tipo homotopia (talvez porque ainda não entendo o HoTT o suficiente). As duas maneiras que posso ver: (1) na computação distribuída, isso já aconteceu, viz. Herlihy e Rajsbaum, e (2) via teoria da complexidade geométrica.

— Joshua Grochow

Pela teoria da homotopia, eu estava me referindo à idéia geral de estudar categorias com equivalências fracas e não tanto HoTT. Eu o li em uma enquete sobre P =? NP que não é difícil de encontrar, acho que foi vinculado a uma das perguntas deste site. Eu acho que meu primeiro palpite (como alguém de fora) foi que talvez haja algum tipo de equivalência fraca interessante em alguma categoria de um modelo de computação que corresponda às classes de complexidade de alguma forma e, em seguida, o estudo de funcores invariantes sob essa equivalência fraca constitua o que eu chamo de " teoria da homotopia "provavelmente é uma falta muito ingênua e total.

— precisa saber é o seguinte

No caso do seu interesse é a teoria da complexidade, em vez de teoria da computabilidade, talvez esta resposta é útil para você: cstheory.stackexchange.com/a/3422/4896

— Sasho Nikolov

Você pode estar interessado nas categorias de Turing de Robin Cockett e Pieter Hofstra. Do ponto de vista da teoria das categorias, a questão "qual é a categoria das máquinas de Turing" é menos interessante do que "qual é a estrutura categórica subjacente à computação". Assim, Robin e Pieter identificam um tipo geral de categoria que é adequado para o desenvolvimento da teoria da computabilidade. Então, existem várias possibilidades para definir essa categoria a partir das máquinas de Turing. Por que ter uma categoria quando você pode ter uma categoria inteira?

— Andrej Bauer
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