Complexidade classe PPAD foi inventado por Christos Papadimitriou em seu seminal 1994 papel . A classe é projetada para capturar a complexidade dos problemas de pesquisa, onde a existência de uma solução é garantida pelo "argumento Paridade em gráficos direcionados": se houver um vértice desequilibrado em um gráfico direcionado, deverá existir outro. Mas geralmente a classe é formalmente definida em termos de ( ), em que o argumento é aplicado apenas a gráficos com graus internos e externos . Minha pergunta é: por que essas noções são equivalentes?
Até este ponto, é uma duplicata dessa pergunta . Agora, quero declarar o problema formalmente e esclarecer por que não estou satisfeito com a resposta lá.
Pesquisar problema ( ): que são dados dois circuitos polinomial porte e que obter e retorne uma lista polinomial de outros elementos em . Esses circuitos definem um gráfico direcionado onde e . O problema da busca é o seguinte: dada , e tal que , encontrar outro vértice com a mesma propriedade.
Problema de pesquisa : o mesmo, mas e retornam uma lista vazia ou um elemento.
A noção de reducibilidade (corrigido de acordo com a sugestão de Ricky): total de pesquisa problema é redutível ao total de pesquisa problema através de funções polinomiais e se é uma solução de na problema implica é uma solução para no problema .
Pergunta formal : por que redutível a ? Ou devemos usar outra noção de redutibilidade?
Christos Papadimitriou prova o teorema análogo sobre o PPA (Teorema 1, página 505), mas o argumento parece não funcionar para o PPAD . O motivo é que um vértice com balanço de graus será transformado em k vértices com balanço de graus ± 1 . Então o algoritmo para A E O L pode obter um desses vértices e retornar outro. Isto não iria produzir um novo vértice para um L V .
As coisas estão piorando porque em sempre há um número par de vértices desequilibrados, mas em A U V pode haver um número ímpar deles. É por isso que não se pode construir uma bijeção entre esses dois conjuntos eg nem sempre pode ser igual a f - 1 . Se g ( x , f ( x ) ) ≠ x , em seguida, obtém-se um método para a resolução de um L V em tempo polinomial, pelo menos, para alguns casos. Se g não depende de x e para y uma ≠ y 2 , em seguida, y 2 pode ser devolvido como resposta para y 1 . Isso não daria uma solução para um U V .
Pergunta final : os obstáculos listados acima podem ser superados de alguma forma? Pode-se empregar uma possível dependência de em x ?