Entscheidungsproblem vs. Unvollständigkeitssatz (pergunta suave)

O primeiro termo é usado por Hilbert em seu trabalho de 1928, mas nos trabalhos posteriores de Gödel, a mesma coisa é chamada de Unvollständigkeitssatz ("teorema da incompletude"). Para os atuais pesquisadores alemães de CS, parece que o Unvollständigkeitssatz é mais comumente usado, e o Entscheidungsproblem ("problema de decisão") ainda é entendido, mas não necessariamente associado ao das Halteproblem (que parece ser mais comum após o trabalho de autómatos de Turing). Por outro lado, para pesquisadores de CS em inglês, Entscheidungsproblem é geralmente a única palavra com a qual eles estão familiarizados.

Nota : as palavras não são as mesmas e pode-se argumentar que a pergunta de Hilbert sobre decisão foi respondida negativamente em um caso particular pelas declarações de Gödel sobre incompletude , de modo que a incompletude destrói a decisão em geral.

Curiosamente, ao olhar para a Wikipedia alemã, não há entrada para o Entscheidungsproblem , mas existe para o Gödelscher Unvollständigkeitssatz , e a entrada sobre Hilbert usa o Gödelscher Unvollständigkeitssatz . Ao olhar para a Wikipedia em inglês, é fácil encontrar uma entrada para o Entscheidungsproblem .

Por que o Entscheidungsproblem não é mais usado em alemão?

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— Frank
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Interessante - para os pesquisadores ingleses de hoje em dia em CS, ao ler sobre história, é mais frequentemente chamado de problema de Entscheidung - tanto que nunca ouvi o termo Unvollstandigkeitssatz antes desta pergunta! Você pode dar uma tradução aproximada dos dois termos para o inglês?

— Joshua Grochow

Sim, mas, surpreendentemente, a Wikipedia alemã não tem uma entrada para Entscheidungsproblem , mas Gödelscher Unvollständigkeitssatz , é uma entrada da Wikipedia (em alemão), e a entrada sobre Hilbert usa a Gödelscher Unvollständigkeitssatz .

— Frank

No entanto, há uma entrada da Wikipedia em alemão para Enscheidbar (decidível) de.wikipedia.org/wiki/Entscheidbar . Meu alemão é ruim, mas navegar na Wikipedia sugere que Unvollständigkeitssatz é realmente o que é chamado de "teorema da incompletude" em inglês. Isso está relacionado ao problema Entscheidung, mas não o resolve. O Entscheidungsproblem pergunta se existe um procedimento que decida se uma determinada afirmação na lógica de primeira ordem é possível. O teorema da incompletude (Unvollständigkeitssatz) não responde a essa pergunta.

— Sasho Nikolov

Não responde negativamente, mostrando que pelo menos para a aritmética, esse procedimento não pode ser planejado? Portanto, não existe um procedimento único que sempre seja capaz de decidir se é possível provar alguma afirmação na lógica de primeira ordem, dados os axiomas.

— Frank

@Frank The Ent ... refere-se à lógica sem axiomas extras. A indecidibilidade de tal não segue diretamente o teorema da incompletude, como provado por Godel, porque ele lida com uma teoria que não é finamente axiomatizável.

— Emil Jeřábek 3,0

As duas palavras não se referem à mesma coisa. O Entscheidungsproblem de Hilbert foi a questão de saber se existe um algoritmo que decida a verdade universal das sentenças lógicas de primeira ordem, que foram respondidas negativamente por Turing em seu famoso artigo de 1936 "On Numbers Computable, with a application to Entscheidungsproblem ". A palavra significa literalmente problema de decisão . Suponho que a palavra não seja mais usada, pois se refere a um problema que foi resolvido. Em inglês, ainda pode ser mais comum devido ao seu uso proeminente no título do artigo de Turing.

Gödels Unvollständigkeitssatz é seu teorema da incompletude, afirmando que nenhuma teoria aritmética consistente é completa, em particular, não pode provar sua própria consistência. Isso respondeu negativamente a uma pergunta diferente de Hilbert, viz. o segundo de seus 23 famosos problemas, que era provar a consistência dos axiomas da aritmética.

— Jan Johannsen
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Obrigado! Exatamente o que eu estava procurando. Você pode apontar para qual das perguntas de Hilbert a Unvollständigkeitssatz responde?

— Frank