Existem idiomas altamente simétricos NP ou P completos?

Existe , uma linguagem completa NP ou P que possui alguma família de grupos de simetria (ou grupóides , mas as perguntas algorítmicas ficam mais abertas) atuando (em tempo polinomial) nos conjuntos que haja poucas órbitas, ou seja, para que para grande o suficiente e alguns , e tal que possa ser gerado, dado eficientemente?$L$$G_n$$L_n = \{ l \in L \mid |l| = n \}$$|L_n / G_n| < n^c$$n$$c$$G_n$$n$

O ponto aqui é que, se encontrarmos um idioma / grupo como este, e se pudermos encontrar formas normais sob ações de grupos de tempo polinomiais em , então podemos reduzir por uma redução de para um linguagem esparsa, computando a forma normal para qualquer , indicando que ou$\mathrm{FP}$$L$$\mathrm{PTIME}$$N$$\mathrm{P = NP}$$\mathrm{L = P}$, dependendo se você escolheu um idioma completo NP ou P inicialmente, respectivamente. Portanto, parece que ou não existem grupos com órbitas esparsas ou que a computação de formas normais é difícil para todos esses grupos ou um desses resultados se mantém, o que eu acho que a maioria de nós não acredita. Também parece que se alguém puder calcular a relação de equivalência entre as órbitas em vez das formas normais, ainda poderá fazer isso de maneira não uniforme, em . Esperando que outras pessoas pensem nisso.$\mathrm{P/poly}$

Para NP, isso parece difícil de construir. Em particular, se você também pode provar (quase) elementos uniformes do seu grupo - o que é verdade para muitas maneiras naturais de construção de grupos -, se uma linguagem NP completa tiver uma ação de grupo politempo com poucas órbitas, o PH entrará em colapso. Para, com esta suposição adicional sobre sampleability, o padrão protocolo para o Graph Isomorfismo também funciona para testar se duas cordas estão no mesmo L n -orbit. Teríamos então N P ⊆ c o A M / p o l y = c o N P /$\mathsf{coAM}$$G_n$ , de modo colapsos pH para Z P P N P . Portanto, para evitar o colapso do PH, qualquer construção para NP precisaria que os gruposnãotivessem um amostrador eficiente e quase uniforme.$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{coAM/poly} = \mathsf{coNP/poly}$$\mathsf{ZPP}^{\mathsf{NP}}$

Minha intuição é que uma linguagem NP-completa desse tipo causaria um colapso da hierarquia polinomial muito parecida com a do teorema de Karp-Lipton.

Mais especificamente, se você subir para o segundo nível da hierarquia polinomial, poderá usar o poder da hierarquia para adivinhar a equivalência entre um determinado elemento de grupo e algum representante de uma classe de equivalência e depois voltar ao Karp –Lipton case, onde o fato de você ter polinomialmente muitas entradas diferentes coloca você em P / poly.

(O resultado deve ser o mesmo que a resposta de Joshua Grochow, mas sem a suposição adicional de amostragem.)