Encontrar um ciclo de 5 em um gráfico esparso com eficiência.

(crossposted from MathOverflow)

Oi,

Eu estava lendo este tópico: /mathpro/16393/finding-a-cycle-of-fixed-length

Eu quero encontrar um ciclo de 5 em um gráfico. Na verdade, o que eu realmente quero é um ciclo ímpar mais curto, de pelo menos 5, mas talvez isso seja um pouco irrelevante. Para meus propósitos, trato e da mesma forma na análise de complexidade. $m$ $n$

Podemos fazer melhor do que o código de cores para encontrar um ciclo de 5 nesse caso? Deixe-me dar uma formulação específica da minha pergunta:

Qual é o mínimo $\alpha$ que existe um algoritmo de tempo $O(m^\alpha)$ para detectar um ciclo de comprimento 5? Qual é o algoritmo? E o que é isso $\alpha$ se você proíbe métodos impraticáveis como a multiplicação rápida de matrizes de Coppersmith-Winograd?

— Andrew D. King
fonte

Crosspost de MO.

— Hsien-Chih Chang,

Seus gráficos têm alguma estrutura especial além de esparsa? (Como baixa degeneração, por exemplo).

— Robin Kothari

Não, você pode tornar o gráfico tão diabólico quanto quiser. Na verdade, eu nem me importo se o gráfico é escasso: estou considerando um gráfico de linhas , e seu gráfico subjacente modo que (podemos assumir que é simples). A razão de eu tratareo mesmo é que eu seie quero analisar a complexidade em termos dee, mas não posso dizer nada sobre comocompara com.

G

$G$

H

$H$

G = L (H)

$G=L(H)$

H

$H$

| E (H) |

$|E(H)|$

| V (H) |

$|V(H)|$

| E (H) | = | V (G) |

$|E(H)|=|V(G)|$

| V (G) |

$|V(G)|$

| E (G) |

$|E(G)|$

| E (H) |

$|E(H)|$

| V (H) |

$|V(H)|$

— Andrew D. King

Para ser claro, você não se importa se o ciclo contém vértices repetidos, correto?

— user834

Eu não permito vértices repetidos, mas para um ciclo de 5 não importa, porque eu assumo que o gráfico é simples e, portanto, não tem 2 ciclos.

— Andrew D. King

Respostas:

Para adicionar à resposta de Mihai:

De fato, o ciclo de 5 ciclos (e, em geral, o ciclo ) em gráficos esparsos pode ser resolvido muito mais rápido que o tempo usando o truque de alto / baixo grau. Você precisa apenas olhar para outro artigo de Alon, Yuster e Zwick: $k$ $O(mn)$

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.101.4120

Por exemplo, um ciclo de 5 pode ser encontrado no tempo , sem nenhuma dependência da multiplicação da matriz. Veja o Teorema 3.4 do documento vinculado acima. $O(m^{1.67})$

Além disso, embora não seja muito difícil reduzir a detecção em 5 ciclos à multiplicação da matriz booleana (com sobrecarga de fator constante), uma redução na direção oposta não aparece no papel de código de cores. Não é conhecida uma redução acentuada (que preserva a complexidade do tempo de execução) da multiplicação da matriz booleana para a detecção em 5 ciclos.

— Ryan Williams
fonte

O caso denso é essencialmente equivalente à multiplicação de matrizes booleanas por código de cores. Consulte http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.103.5167&rep=rep1&type=pdf .

Para gráficos esparsos, existe um algoritmo com o tempo devido a [B. Monien, Como encontrar caminhos longos com eficiência, Ann. Discrete Math., 25 (1985), pp. 239-254]. Suspeito que algo melhor possa ser possível com truques de alto ou baixo grau. $O(mn)$

— Mihai
fonte

Obrigado! Vou dar uma olhada no artigo de Monien quando tiver acesso a ele.

— Andrew D. King