Complexidade de verificar se duas palavras têm uma intercalação em um idioma

Para um idioma fixo em algum alfabeto , vamos considerar o seguinte problema, que chamo de INTERLEAVING : $L$ $A$ $L$

Entrada: duas palavras $u, v \in A^*$
Saída: se existe uma intercalação de e , que está em . $u$ $v$ $L$

Aqui, uma intercalação de duas palavras e é uma palavra que pode ser obtida intuitivamente pegando as letras de e , mantendo sua ordem relativa. Formalmente, é uma intercalação de e se pudermos particioná-lo em duas subsequências separadas, uma que é igual a e a outra que é igual a . Por exemplo, "bheleloll" é uma intercalação de "olá" e "sino". $u$ $v$ $w$ $u$ $v$ $w$ $u$ $v$ $u$ $v$

Qual é a complexidade do problema INTERLEAVING, dependendo do idioma ? $L$ $L$ Em particular:

Se for regular, podemos resolver o problema com um algoritmo dinâmico nas duas strings que mostra que ele está na classe NL. É NL-difícil para alguns idiomas regulares? No entanto, para alguns idiomas regulares, o problema está claramente em L (espaço de registro determinístico). Existe alguma caracterização dos idiomas para os quais o problema está em L? $L$
Se não for regular, o problema ainda estará em NL quando tiver complexidade de espaço determinístico on-line polinomial (veja aqui esta noção ou minha pergunta anterior ). No entanto, isso não abrange, por exemplo, todas as linguagens sem contexto; no entanto, alguns outros (por exemplo, palíndromos) também podem ser mostrados como NL (por exemplo, executando um algoritmo dinâmico simultaneamente desde o início e até o fim). Existe uma linguagem livre de contexto cujo problema de intercalação em é NP-difícil? $L$ $L$ $L$

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— a3nm
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Para uma palavra e para dois números inteiros com , denotamos por a subpalavra de . Além disso, deixamos denotar a palavra vazia. $w=w_1\ldots w_{\ell}$ $i,j$ $1\le i\le j\le \ell$ $w(i,j)$ $w_iw_{i+1}\ldots w_j$ $w$ $w(0,0)$

Vamos e ser as duas palavras em questão. $u=u_1\ldots u_m$ $v=v_1\ldots v_n$
Suponha que a linguagem livre de contexto seja especificada por uma gramática livre de contexto na forma normal de Chomsky. $L$

Construa um programa dinâmico, em que um estado seja especificado por $[i,j,r,s,A]$

dois inteiros com ou $i,j$ $1\le i\le j\le m$ $i=j=0$
dois inteiros com ou $r,s$ $1\le r\le s\le n$ $r=s=0$
um símbolo não terminal na gramática livre de contexto $A$

Para cada estado, decidir se na gramática livre de contexto existe alguma derivação que começa com o não-terminal de e que termina com algum entrelaçamento das duas palavras e . Essa decisão pode ser facilmente tomada se os estados forem tratados na ordem correta (subpalavras curtas antes de subpalavras mais longas). $A$ $u(i,j)$ $w(r,s)$

Em suma , isso gera um algoritmo de tempo polinomial para o problema de intercalação em de qualquer linguagem sem contexto . $L$ $L$

— Gamow
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Obrigado! Na verdade, eu não havia notado que essa variante do en.wikipedia.org/wiki/CYK_algorithm funcionaria para mostrar que o problema está em P para linguagens sem contexto. Dito isto, não vemos como mostrar que o problema está em NL usando esse algoritmo: parece que precisamos fazer um número logarítmico de suposições (a altura da árvore), sendo cada suposição logarítmica (ou seja, posições no corda). Alguma idéia sobre isso?

— a3nm

@ a3nm Se a palavra vazia pertence a uma CFL já é difícil.

— 395 Sylvain

@Sylvain: OK, é difícil, mas é uma função do CFL. :) Lembre-se de que no meu problema a linguagem (ou uma CFL para ele) é fixa e a entrada são apenas as duas strings, portanto, não acho que esse argumento se aplique.

— A3nm4

@ a3nm desculpe, eu realmente tinha perdido o fato de que o idioma estava corrigido. Então, o candidato natural seria a dureza do LogCFL.

— Sylvain

@Sylvain: Está certo, obrigado! Então, de fato, acho que o problema da palavra é difícil para o LogCFL, mesmo para uma linguagem CFL fixa (ou seja, a linguagem mais difícil de Greibach), então, em particular, existem linguagens CFL para as quais meu problema é difícil para o LogCFL (instale a segunda string vazia ) Por outro lado, imagino que o algoritmo de Gamow esteja no LogCFL (?). Ainda assim, isso me faz pensar sobre os idiomas para os quais o meu problema seria mais fácil que este limite, e como eles poderiam ser categorizados ...

— a3nm