As reduções mais internas são perpétuas no cálculo λ não tipado?


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(Eu já perguntei isso no MathOverflow, mas não tenho respostas lá.)

fundo

No cálculo lambda não tipado, um termo pode conter muitos redexos, e diferentes opções sobre qual deles reduzir podem produzir resultados totalmente diferentes (por exemplo, (λx.y)((λx.xx)λx.xx) que em um passo ( -) reduz-se a ou a si próprio). Diferentes (sequências de) escolhas de onde reduzir são chamadas de estratégias de redução . Diz- se que um termo está normalizando se existir uma estratégia de redução que tragay t t t tβyttpara a forma normal. Diz-se que um termo está fortemente normalizando se toda estratégia de redução levar à forma normal. (Não estou preocupado com isso, mas a confluência garante que não pode haver mais de uma possibilidade.)tt

Diz-se que uma estratégia de redução está normalizando (e, em certo sentido, é melhor possível) se sempre que tiver uma forma normal, é aí que acabaremos. A estratégia mais à esquerda e mais à esquerda está normalizando.t

No outro extremo do espectro, uma estratégia de redução é considerada perpétua (e é, de certa forma, a pior possível) se sempre que houver uma sequência de redução infinita de um termo , a estratégia encontra essa sequência - em outras palavras, nós poderíamos deixar de normalizar, então nós iremos.t

Conheço as estratégias de redução perpétua e dadas respectivamente por: e (nos dois casos, o -redex indicado é o mais à esquerda no termo - e, em formas normais, as estratégias de redução são necessariamente identitárias.)F b k F b k ( C [ ( λ x . S ) t ] ) = C [ s [ t / x ] ] se  t  está normalizando fortemente F b k ( C [ ( λ x . S ) t ] ) = C [ ( λ x . S ) F bFFbk

Fbk(C[(λx.s)t])=C[s[t/x]]E se t está fortemente normalizandoFbk(C[(λx.s)t])=C[(λx.s)Fbk(t)]de outra forma
F(C[(λx.s)t])=C[s[t/x]]E se x ocorre em s, ou se t está na forma normalF(C[(λx.s)t])=C[(λx.s)F(t)]de outra forma
βC[(λx.s)t]F é ainda máximo - se normalizar um termo, ele utilizou a maior seqüência de redução possível para fazer isso. (Veja, por exemplo, 13.4 no livro de Barendregt.)

Considere agora a estratégia de redução mais à esquerda e à mais interna . Informalmente, ele reduzirá apenas um redex que não contém outros redexes. Mais formalmente, é definido por β

eu(t)=tE se t na forma normaleu(λx.s)=λx.eu(s)para s não na forma normaleu(st)=eu(s)tpara s não na forma normaleu(st)=seu(t)E se s, mas não t está na forma normaleu((λx.s)t)=s[t/x]E se st ambos na forma normal

A intuição natural para a redução mais à esquerda é que ela fará todo o trabalho - nenhum redex pode ser perdido e, portanto, deve ser perpétuo. Como a estratégia correspondente é perpétua para a lógica combinatória (sem tipo) (as reduções mais internas são perpétuas para todas as TRWs ortogonais), isso não parece um otimismo de olhos azuis completamente irrestrito ...

A redução mais à esquerda é uma estratégia perpétua para o cálculo -calculado?λ

Se a resposta for "não", um ponteiro para um contra-exemplo também seria muito interessante.



... como mencionado na primeira linha.
kow

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@ kow: Sim, você está certo, e não há nada errado com a crossposting :) O link serve apenas para o benefício de seguir os comentários e as respostas no MO, a fim de evitar a resposta dupla. Veja a discussão sobre meta .
Hsien-Chih Chang,

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@ kow: Quando você cruzar uma pergunta da próxima vez, não se esqueça de adicionar um link, de preferência nas duas direções.
Tsuyoshi Ito

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eu(eu(s)t)seu(s)eu(eu(s))

Respostas:


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ttt=(λx.(λy.1)(xx))eu

eu(tt)=eu(t)t=eu(λx.(λy.1)(xx))t=(λx.eu((λy.1)(xx)))t=(λx.1)t

FF([(λx.(λy.1(xx)))t]))=(λy.1)(tt)

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