Limite inferior no número de caminhos "curtos" em uma árvore enraizada com tamanho polinomial

Seja uma árvore binária enraizada. Todo caminho da raiz de até uma folha tem comprimento . Cada nó de sempre tem um nó filho esquerdo e um direito, mas é possível que sejam os mesmos (portanto, sempre existem caminhos possíveis). O tamanho de é limitado por . Um nó com nós filhos diferentes é chamado de nó de ramificação .$T$$T$$n$$T$$2^n$$T$$O(poly(n))$

Dizemos que dois caminhos são diferentes se houver um nó de ramificação compartilhado e um caminho para o nó filho esquerdo e o outro caminho para o nó filho direito. É claro que existe pelo menos um caminho em com nós de ramificação. Caso contrário, não seria demais nodos em .$T$$O(\log n)$$T$

Existe um limite inferior melhor no número de caminhos com nós de ramificação se eu souber que existem nós de ramificação na árvore?$O(\log n)$$\omega(\log n)$

$\Omega(\log n)$$O(\log n)$$\Omega(\log n)$

$n$

Aqui está um esboço do limite inferior.

$< n^c$$< n^c$

$\Omega(\log n)$$\Omega(\log n)$$\Omega(\log n)$

$d(v)$$\Sigma_{v \mathrm{\ leaf}} 2^{-d(v)} = 1$

$n^c$$O(\log n)$$\log_2(n^{c+1}) = (c+1) \log_2 n$$1/n$$v$$d(v)\leq (c+1) \log_2 n$$\sum_{v\mathrm{\ low \ depth \ leaf}} 2^{-d(v)} > 1-\frac{1}{n}$$\sum_{v\mathrm{\ low\ depth\ leaf}} 2^{-d(v)} < 1$

$2^{-k}$$1$$1-\frac{1}{n}$$\log_2 n$$\Omega(\log n)$$O(\log n)$