Amostragem aproximada de poliedros convexos com computadores quânticos

Computadores quânticos são muito bons para distribuições de amostragem que não sabemos como amostrar usando computadores clássicos. Por exemplo, se f é uma função booleana (de a - 1 , 1 ) que pode ser calculada em tempo polinomial, então com computadores quânticos, podemos amostrar eficientemente de acordo com a distribuição descrita pela expansão de Fourier de f. (Não sabemos como fazer isso com computadores clássicos.)$\{-1,1\}^n$${-1,1}$

Podemos usar computadores quânticos para amostrar ou amostrar aproximadamente um ponto aleatório em um poliedro descrito por um sistema de n desigualdades em d variáveis?

Passar das desigualdades para os pontos me parece um pouco semelhante a uma "transformação". Além disso, eu ficaria feliz em ver um algoritmo quântico, mesmo que você modifique a distribuição, por exemplo, considere o produto da distribuição gaussiana descrita pelos hiperplanos do poliedro ou por outras coisas.

Algumas observações: Dyer, Frieze e Kannan encontraram um famoso algoritmo de tempo polinomial clássico para amostrar aproximadamente e calcular aproximadamente o volume de um poliedro. O algoritmo é baseado em passeios aleatórios e mistura rápida. Então, queremos encontrar um algoritmo quântico diferente para o mesmo objetivo. (OK, podemos esperar que um algoritmo quântico também leve a coisas nesse contexto que não sabemos fazer classicamente. Mas, para começar, tudo o que queremos é um algoritmo diferente, isso deve ser possível.)

Segundo, nem sequer insistimos em amostrar aproximadamente a distribuição uniforme. Teremos o maior prazer em experimentar, aproximadamente, alguma outra distribuição interessante, que é mais ou menos suportada em nosso poliedro. Há um argumento de Santosh Vampala (e também de mim em outro contexto) que leva da amostragem à otimização: se você deseja otimizar a amostra f (x) para encontrar um ponto y onde f (x) é típico. Adicione a restrição {f (x)> = f (y)} e repita.

Como o post reconhece, a existência de um algoritmo clássico de tempo polinomial para estimar o volume de um politopo convexo é um divisor de águas. Um algoritmo quântico tem muito menos probabilidade de ser interessante, a menos que seja competitivo com os algoritmos clássicos. Afinal, sem esse critério, qualquer algoritmo clássico poderia simplesmente ser chamado de algoritmo quântico.

Dito isto, ainda há espaço para uma aceleração polinomial, e o principal ponto de vista conhecido para esse tipo de aceleração é uma caminhada quântica, especialmente considerando que a aceleração clássica nesse caso é baseada em uma boa caminhada aleatória. (De fato, qualquer algoritmo quântico pode ser visto como uma caminhada quântica, mas para alguns algoritmos isso não é necessariamente esclarecedor.) Vários trabalhos na literatura de CQ apontaram que os algoritmos para estimar o volume de um polítopo convexo usam caminhadas aleatórias e que poderia haver uma aceleração de uma caminhada quântica. Portanto, parece que os pesquisadores conhecem essa sugestão, mas ninguém tentou descobrir qual aceleração polinomial você pode obter para esse problema. Você pode não conseguir nada se o melhor algoritmo clássico tiver algum tipo de spoiler,

Aqui está uma coleção de papéis que todos mencionam a idéia básica de passagem; novamente, o Google Scholar parece sugerir que ninguém foi além.

1. arXiv: quant-ph / 0104137 - Quantum caminha no hipercubo
2. arXiv: quant-ph / 0205083 - Caminhadas aleatórias quânticas atingem exponencialmente mais rápido
3. arXiv: quant-ph / 0301182 - Decoerência em caminhadas quânticas discretas
4. arXiv: quant-ph / 0304204 - Controlando caminhadas quânticas discretas: moedas e estados iniciais
5. arXiv: quant-ph / 0411065 - Caminhada quântica em uma linha com duas partículas emaranhadas
6. arXiv: quant-ph / 0504042 - Entrelaçamento em caminhadas quânticas cunhadas em gráficos regulares
7. arXiv: quant-ph / 0609204 - Aceleração quântica de processos de mistura clássicos
8. arXiv: 0804.4259 - Aceleração via amostragem quântica
9. Uma abordagem aleatória para algoritmos quânticos
10. Caminhada quântica discreta para resolver equações não lineares sobre campos finitos

O outro lado dos algoritmos clássicos para estimar o volume de um politopo convexo é a programação linear. Não sei se houve progresso para encontrar uma aceleração quântica para isso. Parece difícil evitar um estágio de programação linear para colocar o pólipo convexo em uma posição favorável para a amostragem.