Extensões do teorema de Ramsey: monocromática, mas diversa

Como acompanhamento da minha pergunta anterior , resolvida por Hsien-Chih Chang, aqui está outra tentativa de encontrar uma generalização apropriada do teorema de Ramsey. (Você não precisa ler a pergunta anterior; esta postagem é independente.)

Parâmetros: números inteiros são dados e, em seguida, é escolhido para ser suficientemente grande. Terminologia: um subconjunto é um subconjunto de tamanho .$1 \ll d \ll k \ll n$$N$$m$$m$

Seja . Para cada -subset , atribuir uma cor .$B = \{1,2,...,N\}$$k$$S \subset B$$f(S) \in \{0,1\}$

Definições:

• f ( S ) = f ( S ′ ) k S ⊂ X S ′ ⊂ $X \subset B$ é monocromática , se para todos os -subsets e .$f(S) = f(S')$$k$$S \subset X$$S' \subset X$
• $X \subset B$ é diverso se modo que e para todos i .$X = \{ x_1, x_2, ..., x_n \}$$x_i < x_{i+1}$$x_i\,\not\equiv x_{i+1} \text{ mod } d$$i$

Por exemplo, se $d = 10$ , então $\{ 12, 15, 23, 32, 39 \}$ é diverso, mas $\{ 12, 15, 25, 32, 39 \}$ não é. Observe que um subconjunto de um conjunto diverso não é necessariamente diverso.

Agora o teorema de Ramsey diz que não importa como nós escolhemos $f$ , há uma monocromática $n$ -subset $X \subset B$ . E, obviamente, é trivial para encontrar uma diversificada $n$ -subset $X \subset B$ .

Pergunta: existe sempre uma diversificada e monocromático $n$ -subset $X \subset B$ ?

Edit: Hsien-Chih Chang mostra que a afirmação é falsa para um primo , mas e o composto ? Nos meus aplicativos, terei muita liberdade na escolha dos valores exatos de , desde que eu possa torná-los arbitrariamente grandes. Eles podem ser poderes de números primos, produtos de números primos ou o que for necessário para tornar a afirmação verdadeira.$d$$d$$d \ll k \ll n$

Primeiro eu tenho que dizer: esse problema é realmente interessante !! E aqui descrevo brevemente por que minhas abordagens anteriores falharam, conforme sugerido neste meta post sobre respostas incorretas.

• Minha primeira tentativa foi tentar construir uma coloração relacionada ao subconjunto do subconjunto k, que torna todos os subconjuntos n não monocromáticos. O lema 1 ainda está disponível; mas o Lema 2 estava errado, observando que se k e d estão relacionados primos, então um subconjunto no módulo d sugerido por @Jukka é um contra-exemplo.$\{1,3,1,3, \ldots\}$

• A segunda tentativa foi uma prova do teorema; contando a proporção de conjuntos diversos e monocromáticos , esperamos que o número de conjuntos monocromáticos ultrapasse o número de conjuntos diferentes. Mas existe um erro nos meus cálculos, observado por @domotorp: a proporção de não ser diverso não se aproxima de zero; converge para cerca de , que é claramente maior que .$n$$n/d$$R(n,n;k)^{-n}$

• O terceiro uma volta para o primeiro método, e mostra que, para um conjunto de parâmetros de super-fraco ( e ), o teorema é falsa. Utilizamos um famoso lema na combinatória aditiva: o teorema EGZ.$n > k+d-1$$d \mid k$

A quarta tentativa é devido à resposta de @domotorp; é inteligente e inspirador, e tentarei modificar sua prova para lidar com todos os parâmetros. Mas o método dele ainda é elegante e eu aprecio totalmente essa abordagem simples.

Um n-conjunto diverso contém pelo menos um subconjunto k com pelo menos "alterna entre classes mod"; precisamente, seja um conjunto n diversificado e deixe , uma opção é definida se e estiverem em diferentes mod-d Aulas. Temos k-1 switches para .$k-1$$X = x_1,\ldots,x_n$$S^* = x_1,\ldots,x_k$$x_i$$x_{i+1}$$S^*$

Deixe um subconjunto k- ser vermelho se tem no máximo k-2 interruptores; caso contrário, é azul . Pelo parágrafo anterior, já tínhamos um azul, agora provamos que para , existe um vermelho em qualquer n-definido . Como , existem dois números na mesma classe mod-d e ; e desde que , há pelo menos k-2 elementos em com ou . E pode-se construir um subconjunto k- com$S$$S$$n > k+d+1$$S$$X$$n > d$$x_i,x_j$$j-i \leq d-1$$n > k+d+1$$x_k$$X$$k<i$$k>j$$S$$x_i$próximo a , que alterna apenas no máximo k-2 vezes. Assim, é um subconjunto k vermelho.$x_j$$S$

Eu posso ter entendido mal sua pergunta, mas se não, acho que é falsa. Colora os k-sets cujos membros são todos os módulos congruentes d de vermelho e os outros k-sets de azul. Se n> kd, qualquer conjunto n deve conter um conjunto k cujos membros sejam todos módulo congruente d e, portanto, é vermelho. Por outro lado, se um conjunto k contém dois elementos consecutivos de um conjunto n diverso, então é azul.