Matriz balanceada explícita

É possível construir uma explícita -matrix com queridos tal que cada submatrix contém menos de queridos? $N \times N$ $0/1$ $N^{1.5}$ $N^{0.499} \times N^{0.499}$ $N^{0.501}$

Ou provavelmente é possível criar um conjunto de batidas explícito para essa propriedade.

É fácil ver que a matriz aleatória tem essa propriedade com probabilidade exponencialmente próxima a . Além disso, o lema de mistura do expansor não é suficiente para derivar essa propriedade. $1$

Eu acho que geradores pseudo-aleatórios que enganam retângulos combinatórios podem ajudar aqui, mas eles são projetados para distribuições uniformes e eu basicamente preciso de aqui. $B(N^2, N^{-0.5})$

— ilyaraz
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É uma pergunta interessante: embora eu esteja curioso sobre a motivação.

— Suresh Venkat

@Suresh É proveniente da não extração quantitativa de informações mútuas. Se você estiver interessado, eu posso elaborar.

— Ilyaraz

Na verdade eu sou. você pode me enviar um e-mail (sureshv@gmail.com) se for mais fácil assim.

— Suresh Venkat

Respostas:

O que você procura é um extrator de um bit para duas fontes independentes: uma função , de modo que, desde que X, Y sejam variáveis aleatórias com entropia mínima 0,499 * log (N), E (X, Y) está quase equilibrado. $E:[N]\times [N]\to \{0,1\}$

É um problema difícil notório. Para os parâmetros que você deseja, acredito que foi resolvido pela Bourgain. Veja aqui: http://www.cs.washington.edu/homes/anuprao/pubs/bourgain.pdf

— Dana Moshkovitz
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Bourgain fornece um viés

para alguns

. Eu não tenho certeza que a análise pode dar

. Se eu fosse você, estudaria e verificaria. Você também pode perguntar a Anup Rao, Zeev Dvir, Avi Wigderson ou qualquer outra pessoa que trabalhou nesse problema.

p = N^{- α}

$p=N^{-\alpha}$

α > 0

$\alpha>0$

α = 1 / 2

$\alpha = 1/2$

— Dana Moshkovitz

@ilyaraz: Quando você (ou alguém) descobrir se a construção da Bourgain fornece ou não a matriz desejada, compartilhe (a menos que você se importe)!

— Tsuyoshi Ito

essa foi uma pergunta e resposta muito interessante. Vou responder ao pedido de Tsuyoshi.

— Suresh Venkat

Relendo a pergunta e a resposta (já faz um tempo ...), acho que não percebi que o questionador queria apenas N ^ {1.5}, o que corresponde a extrair um pouco 1 com probabilidade N ^ {-0,5} em vez de um pouco equilibrado. Ainda assim, acho que a referência aos extratores de duas fontes é útil. Eu posso imaginar que técnicas semelhantes seriam úteis para o cenário da pergunta.

— Dana Moshkovitz

1) Se um extrator produzir k bits quase uniformes, em particular, você poderá obter um bit 1 com probabilidade ~ 1/2 ^ k. 2) Isso é um grande desperdício, e me parece uma boa pergunta de pesquisa encontrar uma maneira mais eficiente de gerar esses bits.

— Dana Moshkovitz

Essa resposta é baseada na idéia de Dana na resposta acima.

$\delta = 0.001$ $N=2^n$ $f(x,y)$ $(X, Y)$ $n$ $k = n(1/2 - \delta)$ $n' = n/2$ $\epsilon$ $k'=n(1/2-3\delta)$ $2k > k'+\log(1/\epsilon)+O(1)$

M. Capalbo, O. Reingold, S. Vadhan, A. Wigderson. Condutores de aleatoriedade e expansão em grau constante além do grau / 2 barreiras

$\epsilon = 2^{-k'}$ $n'$ $z$ $(x,y)$ $f(x,y)=z$ $2^{1.5 n}$ $z$ $z$ $O(2^{-n/2})$ $N \times N$ $(x,y)$ $1$ $(x,y)$ $f(x,y)=z$ $z$ $2^{1.5n}$ uns.

$2^k \times 2^k$ $X, Y$ $f$ $f(X,Y)$ $\epsilon$ $k'$ $1$ $2^{-k'}+\epsilon\leq 2^{-k'+1}$ $2^{2k-k'+1} = O(2^{n/2 + \delta})$

$f$

— MCH
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