Associação monóide de transição para DFAs

Dado um DFA completo , podemos definir uma coleção de funções f a para cada a ∈ Γ e com f a : Q → Q , f a ( q ) = δ ( q , a ) . Podemos generalizar este conceito a uma palavra w = a 1 , ⋯ , um m e f $A=(Q, \Gamma, \delta, F)$$f_a$$a\in \Gamma$$f_a:Q\rightarrow Q$$f_a(q)=\delta(q, a)$$w=a_1, \cdots, a_m$ onde∘indica a composição de função. Além disso, denotamosG={fw∣w∈Γ∗}eGé monóide.$f_w=f_{a_1}\circ \cdots \circ f_{a_m}$$\circ$$G=\{f_w\mid w\in \Gamma^*\}$$G$

[ é geralmente chamado de transição monóide no livro-texto padrão, mas aqui reproduzo a definição para maior clareza.]$G$

A questão é, dada uma função , podemos decidir f ∈ G (idealmente em tempo polinomial), e se esse for o caso (ou seja, existe um w tal que f = f $f:Q\rightarrow Q$$f\in G$$w$$f=f_w$ ), se é apenas polinomialmente longo, ou pode ser exponencialmente longo? $w$

[Acho que essa palavra pode ser exponencialmente longa, mas estou procurando um exemplo simples.]

Decidability

É decidível. Há apenas um número finito de funções possíveis , para que possa modelar isso como um problema gráfico acessibilidade, com um vértice por função e uma borda g → h se existe uma ∈ y- tal que h = f um ∘ g . Então, testar se uma função g está em G reduz para testar se g é alcançável no gráfico a partir de f ϵ . Você pode encontrar a palavra mais curta usando a primeira vez. O tempo de execução pode ser exponencial em $f:Q \to Q$$g \to h$$a \in \Gamma$$h = f_a \circ g$$g$$G$$g$$f_\epsilon$$Q$, Apesar.

Comprimento da palavra

A palavra mais curta pode ser exponencialmente longa. Aqui está um exemplo desse DFA. Seja os primeiros k primos. Então um estado terá a forma ( i , x ) em que i ∈ { 1 , … , k } e x i ∈ { 0 , 1 , … , p i - 1 } . Definir um DFA com alfabeto unário Γ = $p_1,\dots,p_k$$k$$(i,x)$$i \in \{1,\dots,k\}$$x_i \in \{0,1,\dots,p_i-1\}$ e a função de transição δ ( ( i , x ) , 0 = ( i , x + 1 mod p i ) . A função f 0 : Q → Q é dada por$\Gamma=\{0\}$$\delta((i,x),0 = (i,x+1 \bmod p_i)$$f_0 :Q \to Q$

$$f_0(i,x) = (i,x+1 \bmod p_i).$$

Agora considere a função dada por$g:Q \to Q$

$$g(i,x) = (i,x-1 \bmod p_i).$$

É possível utilizar o teorema restante chinês para mostrar que em que n = p 1 × p 2 × ⋯ × p k - 1 , e que 0 n é o mais curto tal palavra. Além disso, | Q | = P 1 + ⋯ + p k , de modo que n é exponencialmente grande em Q .$g = f_{0^n}$$n=p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k -1$$0^n$$|Q|= p_1 + \dots + p_k$$n$$Q$

Consequentemente, não há esperança para um algoritmo de tempo polinomial que produza essa palavra. Isso ainda deixa em aberto a possibilidade de um algoritmo de tempo polinomial para decidir se está em G , no entanto.$g$$G$