Comparando dois produtos de listas de números inteiros?

Suponha que eu tenha duas listas de números inteiros positivos de manitude limitada e que eu pegue o produto de todos os elementos de cada lista. Qual é a melhor maneira de determinar qual produto é maior?

É claro que posso simplesmente calcular cada produto, mas espero que exista uma abordagem mais eficiente, pois o número de dígitos nos produtos aumentará linearmente com o número de termos, para que todo o cálculo seja quadrático.

Se eu estivesse adicionando em vez de multiplicar, poderia usar uma "estratégia de zíper" para adicionar incrementalmente entradas da primeira lista e subtrair da segunda, contornando a necessidade de calcular as somas globais (grandes). As técnicas análogas aos produtos seriam somar os logaritmos das entradas, mas o problema agora é que a computação dos logs requer o uso de aritmética inexata. A menos que haja alguma maneira de provar que o erro numérico é irrelevante?

time-complexity nt.number-theory

— user168715
fonte

Se conhecermos o valor inteiro máximo e que é independente de n (ou seja, uma constante k), podemos fazer uma tabela de pesquisa dos fatores de todos os números de 1 a k. Agora, acho que se você escrever tudo na base [produto dos fatores], isso se tornará linear, pois você poderá calcular os produtos em tempo linear com essa base e comparar cada dígito (começando com o dígito de ordem mais alto) até que um seja maior que o outro. Os detalhes são um pouco complicados, mas acho que deve funcionar se k for uma constante.

— Phylliida 29/05

Eu prefiro dizer que a técnica análoga para os produtos é manter um número racional igual ao primeiro elementos da primeira lista divididos por os primeiros elementos da segunda (além de manuseio

s). Mas isso não é realmente útil, porque se todos os números forem coprime, ele calculará os dois produtos. | Também não tenho certeza de que o algoritmo ingênuo seja quadrático. A computação de um produto de

números inteiros de tamanho

pode levar até

0

$0$

n

$n$

m

$m$

, onde

é o custo da multiplicação de um

-bits inteiros com um

-bits integers.Unless você considerar que os produtos também se encaixam no formato

C (m, m) + C (m, 2 m) + . . . + C (m, (n - 1) m)

$C(m,m)+C(m,2m)+...+C(m,(n-1)m)$

C (x, y)

$C(x,y)$

x

$x$

y

$y$

— xavierm02

Pode haver alguma maneira de estender o método em math.stackexchange.com/a/1081989/10385

— xavierm02

Uma melhoria na abordagem ingênua: conte o número de ocorrências de cada fator (em tempo linear) e calcule apenas o produto no final, usando um algoritmo de alimentação eficiente. Isso funciona no tempo

, que é

O (M (n))

$O(M(n))$

usando o atual método assintoticamente mais rápido.

O (n \log n 2^{O (\log^{*} n)})

$O(n\,\log n\,2^{O(\log^*n)})$

— Emil Jeřábek

Vou pensar na precisão necessária para os logs. Pode ser realmente mais eficiente.

— Emil Jeřábek

(Entendo a descrição do problema para que os números de entrada sejam delimitados por uma constante, para não rastrear a dependência do limite.)

O problema é solucionável no tempo linear e no espaço logarítmico usando somas de logaritmos. Mais detalhadamente, o algoritmo é o seguinte:

Usando contadores binários, conte os números de ocorrências de cada número de entrada possível nas duas listas.

Isso leva tempo e os contadores usam o espaço , pois cada contador é delimitado por em valor. $O(n)$ $O(\log n)$ $n$

$p_1,\dots,p_k$ $O(1)$ $a$ $a$ $O(\log n)$

$\beta_1,\dots,\beta_k$ $O(\log n)$ $\Lambda:=\sum_{i=1}^k\beta_i\log p_i$

$\beta_1=\dots=\beta_k=0$

$\Lambda\ne0$

| Λ | > 2^{- C \log n}

$|\Lambda|>2^{-C\log n}$

C

$C$

Λ

$\Lambda$

$\sum_{i=1}^k\beta_i\pi_i$ $\pi_i$ $\log p_i$ $m:=C\log n+k+1$

$M(m)$ $m$ $M(m)=O(m\,\log m\,2^{O(\log^* m)})$ $O(m^2)$ $\log p_i$ $m$ $O(M(m)\log m)$ $\sum_i\beta_i\pi_i$ $O(M(m))$ $O(M(m)\log m)\subseteq O(\log n\,\mathrm{poly}(\log\log n))$

$O(n)$

— Emil Jeřábek
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Obrigado! Vou ter que trabalhar com os detalhes mais tarde, mas isso parece muito promissor!

— User168715