Sobre a correspondência da introdução à esquerda e eliminação da implicação no Cálculo Sequencial e na Dedução Natural resp.

Alguém poderia dar uma explicação intuitiva ( não intucionista) da correspondência da introdução à esquerda e eliminação da implicação no Cálculo Sequencial (SC) e Dedução Natural (ND), respectivamente? Eu sei que eles deveriam pela simetria de SC, mas não vejo como eles se correspondem. De maneira mais geral, não entendo como a introdução à esquerda de um conectivo no SC processa exatamente a eliminação dele no ND intuitivamente.

Em termos computacionais, um termo de cálculo sequencial é uma sequencialização de um termo lambda. Ou seja, visto como um sistema de tipos, o cálculo sequencial pode ser visto como uma ordem de avaliação de um termo lambda.

Então, suponha que , e y- ⊢ e 2 : A .$\Gamma \vdash e_1 : A \to B$$\Gamma \vdash e_2 : A$

Na dedução natural, o prazo para a eliminação implicação é - isto é, aplicação. No entanto, observe que isso não nos diz se deve avaliar e 1 primeiro ou e 2 primeiro.$\Gamma \vdash e_1\;e_2 : B$$e_1$$e_2$

No cálculo sequencial, uma atribuição de termo de prova correspondente deve ser semelhante a

$$\mathsf{let}\; f = e_1 \;\mathsf{in}\;\mathsf{let}\;v = e_2\;\mathsf{in}\;\mathsf{let}\; x = f\;v \;\mathsf{in}\;x$$

ou então deve parecer

$$\mathsf{let}\; v = e_2\;\mathsf{in}\;\mathsf{let}\;f = e_1 \;\mathsf{in}\;\mathsf{let}\; x = f\;v \;\mathsf{in}\;x$$

Aqui, let-form é o termo de prova correspondente ao uso da regra de corte e, como todas as regras da esquerda atuam apenas em hipóteses / variáveis, isso nos obriga a vincular todos os resultados intermediários a variáveis. Esse requisito garante que somos forçados a dizer explicitamente qual ou e 2 reduzimos e ligamos primeiro a uma variável.$e_1$$e_2$

Para linguagens puramente funcionais, essa explicitação não importa, mas à medida que você adiciona efeitos, fica mais fácil trabalhar com cálculos sequenciais. É por isso que coisas como cálculo de efeitos de controle / lógica clássica geralmente são apresentadas como cálculo sequencial.

Apenas para recapitular: no ND, a eliminação de um conectivo nos diz como usá-lo:

- - - $A \wedge B$
$---$
$A$

- - - $A \wedge B$
$---$
$B$

são as regras de elim para conjunção. Eles dizem que nós podemos usar para obter A , ou para obter B .$A\wedge B$$A$$B$

Da mesma forma, em SC:

- - - - - - Γ , A ∧ B ⊢ $\Gamma,A\vdash \Delta$
$------$
$\Gamma,A\wedge B \vdash \Delta$

- - - - - - Γ , A ∧ B ⊢ $\Gamma,B\vdash \Delta$
$------$
$\Gamma,A\wedge B \vdash \Delta$

O que as regras SC estão nos dizendo é que, se "necessidade" ou B , então podemos usar A ∧ B no lugar de A ou B .$A$$B$$A\wedge B$$A$$B$

Em geral, as regras de introdução à esquerda do SC nos dizem "quando" podemos usar um conectivo, e as regras de eliminação do ND nos dizem "como" usar um conectivo.

Agora, por implicação, no ND, temos:

A - - - - - - $A \rightarrow B$       $A$
$------$
$B$

Em SC:

Σ , B ⊢ Π - - - - - - - - - - Γ , Σ , A → B ⊢ ô , $\Gamma \vdash A,\Delta$       $\Sigma,B\vdash \Pi$
$----------$
$\Gamma,\Sigma, A\rightarrow B \vdash \Delta,\Pi$

Agora, a primeira coisa a fazer com a regra do SC é ignorar a "porcaria". e Σ podem ser ignorados para fins de intuição:$\Delta$$\Sigma$

B ⊢ ¸ - - - - - - - Γ , A → B ⊢ $\Gamma \vdash A$       $B\vdash \Pi$
$-------$
$\Gamma, A\rightarrow B \vdash \Pi$

O que isso diz é que, se soubermos usar o que "temos" ( ) para provar A , e soubermos usar B para provar o que queremos ( Π ) , poderemos usar A → B para obter o que queremos. quer ( Π ). Ou seja, mais uma vez a regra de introdução à esquerda está nos dizendo "quando" podemos usar o conectivo.$\Gamma$$A$$B$$(\Pi)$$A\rightarrow B$$\Pi$