Esse politopo de “embalagem de subgrupo” é integral?

Deixe ser um grupo abeliano finito, e deixá- ser o poliepítopo em definido como sendo os pontos satisfaçam as seguintes desigualdades: $\Gamma$ $P$ $\mathbb{R}^\Gamma$ $x$

\begin{array}{cl} \sum_{g \in G} x_{g} \leq | G | & \forall G \leq Γ \\ x_{g} \geq 0 & \forall g \in Γ \end{array}

$\begin{array}{cl} \sum_{g\in G} x_g \le |G| & \forall G \le \Gamma \\ x_g \ge 0 & \forall g \in \Gamma \end{array}$

onde significa é um subgrupo de . é integral? Se sim, podemos caracterizar seus vértices? $G \le \Gamma$ $G$ $\Gamma$ $P$

Minha pergunta surgiu originalmente com , onde alguns pequenos exemplos ( ) sugerem que a resposta é "sim" e "talvez, mas não é simples". Eu também tentei o grupo cíclico com 9 e 10 elementos, bem como com , onde novamente o politopo é integral. O poliepítopo é não integrante quando é qualquer um de , , e , de modo abelianness é aparentemente essencial. $\Gamma = \mathbb{F}_2^n$ $n = 2,3$ $\mathbb{F}_3^2$ $\Gamma$ $S_3$ $D_4$ $D_5$

Devo mencionar que, se você escrever o primeiro conjunto de equações como , não será necessariamente totalmente unimodular (o que implicaria que o politopo é integral). Quando , pode escolher três linearmente independente e levar a três 's gerado por cada par de elementos seleccionado . A submatriz resultante é até a permutação e, portanto, possui determinante . $Ax \ge b$ $A$ $\Gamma = \mathbb{F}_2^3$ $g$ $G$ $g$

[\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{bmatrix}$

\pm 2

$\pm 2$

É fácil (embora tedioso) caracterizar os vértices para grupos de primeira ordem e observar que eles são integrais. Tenho certeza de que isso pode ser estendido a grupos cíclicos com ordem de potência principal. Não tenho certeza do que acontece ao receber produtos.

Esse sistema lembra muito os polímatróides definidores , mas, em vez de uma função de conjunto submodular, as restrições são uma "função de subgrupo" que eu suspeito que seja "submodular" depois de definida da maneira correta. Ainda assim, as técnicas para mostrar certos polímatoides são essenciais, também podem funcionar aqui, mas não vejo como.

$\Gamma = \mathbb{F}_2^n$ $\sum_g x_g$ $x_g = 1$ $g$ $x_g = 1 - \chi_S(g)$ $\chi_S$ $S$ $S$ $S$ $x_g = 0$

gr.group-theory fourier-analysis convex-geometry

— Andrew Morgan
fonte

F_{2}^{n}

$\mathbb{F}_2^n$

x_{1000 \dots 0}

$x_{1000\dotsc 0}$

x_{e_{2}}

$x_{e_2}$

x

$x$

x

$x$

Sim, esta é uma pergunta muito interessante e curiosa. (Se você não se importa em compartilhar) Havia motivação para olhar para esses politopos em particular? Ou apenas algo que foi encontrado por acaso?

— John Machacek

F_{2}^{n}

$\mathbb{F}_2^n$

x_{i}

$x_i$

G

$G$

Andrew (o autor da pergunta) e eu discutimos isso por e-mail e mostramos que a conjectura é falsa. O politopo não é parte integrante dos grupos abelianos, nem mesmo dos grupos cíclicos.

Pelo lado positivo.

$p^kq$ $p$ $q$ $k\in \mathbb{N}$

Isso ocorre porque a família de subgrupos é uma união de duas famílias laminares.

$2\times 3\times 5 =30$

$30$

$x_0=1/2$ $x_2=\frac{30}{2}-\frac{1}{2}=29/2$ $x_3=\frac{30}{3}-\frac{1}{2}=19/2$ $x_5=\frac{30}{5}-\frac{1}{2}=11/2$ $0$ $30$ $2,3$ $5$ $30$ $x$

$\mathbb{F}_2^n$ $n$ $\mathbb{F}_2^4$

— Chao Xu
fonte