É sabido que o problema da parada é incontestável. No entanto, é possível compactar exponencialmente as informações sobre o problema de parada, para que a descompactação seja computável.
Mais precisamente, é possível calcular a partir de uma descrição de máquinas de Turing e de um conselho de n bits, a resposta ao problema de parada de todas as 2 n - 1 das máquinas de Turing, assumindo que o estado de aconselhamento seja confiável - nós deixe nosso orientador escolher os bits para descrever quantas máquinas de Turing param no binário, espere até que muitos parem e produza que o restante não pare.
Esse argumento é uma variante simples da prova de que a constante de Chaitin pode ser usada para resolver o problema da parada. O que me surpreendeu é que é afiada. Não existe um mapa computável a partir de uma descrição de máquinas de n Turing de e um conselho de n bits indica 2 n bits de saída interrompida que obtêm a resposta correta, para cada tupla de máquinas de Turing, para algumas tuplas de bits. Se houvesse, poderíamos produzir um contra-exemplo diagonalizando, com cada uma das 2 n máquinas de Turing simulando o que o programa faz em um dos 2 n arranjos possíveis dos n bits e escolhendo seu próprio estado de parada para violar a previsão.
Não é possível compactar informações sobre o problema de parada para máquinas de Turing com um oráculo de parada (sem acesso a algum tipo de oráculo). As máquinas podem simular o que você prevê em todas as entradas possíveis, ignorando as que não são interrompidas e escolhendo o tempo de parada para dar a primeira resposta lexicograficamente que você não previu em nenhuma entrada.
Isso me motivou a pensar no que acontece com outros oráculos:
Existe um exemplo de um oráculo em que o problema de parada para máquinas de Turing com esse oráculo pode ser comprimido a uma taxa de crescimento intermediária entre linear e exponencial?
Mais formalmente, dado um oráculo, seja o maior m tal que exista uma função parcial computável das máquinas de Turing da m oracle e n bits a m bits, de modo que, para cada m- uplice de máquinas de Turing da oracle, exista um n- múltiplo de bits, em que o valor da função avaliada nessa entrada é igual ao m- múltiplo de 1 para cada máquina Oracle Turing que pára e 0 para cada máquina Oracle Turing que executa para sempre.
Existe um oráculo onde ? Existe um oráculo onde ω ( n ) = f ( n ) = o ( 2 n ) ?