Localizando subgráficos com alta largura de árvore e grau constante

Recebo um gráfico com largura de árvore ke grau arbitrário, e gostaria de encontrar um subgrafo H de G (não necessariamente um subgrafo induzido), de modo que H tenha um grau constante e sua largura de árvore seja a mais alta possível. Formalmente, meu problema é o seguinte: tendo escolhido um grau vinculado d ∈ N , qual é a "melhor" função f : N → N, de modo que, em qualquer gráfico G com largura de árvore k , eu possa encontrar (esperançosamente eficientemente) um subgrafo H de G com grau máximo ≤ $G$ $k$$H$$G$$H$$d \in \mathbb{N}$$f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$G$$k$$H$$G$$\leq d$e largura da árvore .$f(k)$

Obviamente, devemos tomar pois não existem gráficos de alta largura de árvore com grau máximo < 3 . Para d = 3 Eu sei que você pode tomar f tal que f ( k ) = Ω ( k 1 / 100 ) ou assim, apelando para o Chekuri e Chuzhoy grade resultado extração de menor$d \geq 3$$<3$$d = 3$$f$$f(k) = \Omega(k^{1/100})$(e usá-lo para extrair um gráfico de grau 3 de alta largura de árvore, por exemplo, uma parede, como menor topológico), com o cálculo do subgrafo sendo possível (em RP). No entanto, este é um resultado muito poderoso com uma prova elaborada, por isso parece errado usá-lo para o que parece ser um problema muito mais simples: eu gostaria de encontrar qualquer subgrafo de grau constante e alta largura de árvore, não um específico como no resultado deles. Além disso, o limite de não é tão bom quanto eu esperava. Claro, ele é conhecido que ele pode ser feito Ω ( k 1 / 20 ) (até desistir eficiência da computação), mas eu espero para algo como Ω ( k $f$$\Omega(k^{1/20})$$\Omega(k)$. Então, é possível mostrar que, dado um gráfico de largura de árvore k , existe um subgrafo de G com grau constante e largura de árvore linear em k ?$G$$k$$G$$k$

Também estou interessado na mesma pergunta exata para largura de caminho em vez de largura de árvore. Para a largura de caminho, não conheço nenhuma extração analógica para a grade menor, então o problema parece ainda mais misterioso ...

Veja o artigo de Julia Chuzhoy e eu sobre esparsificadores Treewidth. Mostra-se que se pode obter um grau subgráfico de, no máximo, 3 com treewidth onde k é o treewidth de L . https://arxiv.org/abs/1410.1016 A prova é mais curta que a dos menores da rede, mas ainda assim não é tão fácil assim e se baseia em várias ferramentas anteriores.$\Omega(k/polylog(k))$$k$$G$

Suponha que você se contentar com um alvo mais fácil - grau 4 e treewidth , então você pode obtê-lo muito mais facilmente através de resultado de Reed e madeira na grade-like menores. https://arxiv.org/abs/0809.0724$\Omega(k^{1/4})$

Outro resultado fácil que você pode obter é o seguinte, que é um ponto de partida para algumas das provas mais envolvidas. Você pode obter um subgráfico do de degrau 2 ( k ) e da largura da árvore Ω ( k / p o l y l o g ( k ) ) . Você pode ver o documento sparsifier de largura de árvore para o argumento para conseguir isso.$\log^2(k)$$\Omega(k/\mathsf{polylog}(k))$