Isomorfismo de gráfico e subgrupos ocultos

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Estou tentando entender a relação entre isomorfismo de gráfico e o problema de subgrupo oculto. Existe uma boa referência para isso?

— Suresh Venkat
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Tssk, não apenas precisaremos curar sua doença gastrointestinal, mas também todos os leitores pobres de sua pergunta que também serão infectados! (Isto é em tom de brincadeira, estou um pouco propensos à doença GI também.)

— András Salamon

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verdade demais. Eu tenho que ficar longe de Dave Bacon agora :)

— Suresh Venkat

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FYI, o seguinte artigo relativamente recente, acho que colocou o prego no caixão dos "algoritmos de peneira quântica" para o IG, que cobre muitas das tentativas até agora (e não é mencionado na publicação de Dave Bacon no blog): dx.doi.org/ 10.1137 / 080724101 . O artigo é pesado sobre a teoria da representação, mas a introdução não é, e é uma leitura muito boa.

— Joshua Grochow

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As referências podem ser encontradas na resposta de martinschwarz, mas aqui está um resumo de algumas reduções.

O grupo simétrico atua nos gráficos de n vértices permutando os vértices. Determinar se os dois gráficos são isomorfos é de tempo polinomial equivalente para computar um conjunto gerador de tamanho polinomial para . $S_n$ $Aut(G)$

Redução para o HSP sobre o grupo simétrico (onde é o número de variáveis no gráfico). A função é , onde é uma permutação em , e é a versão permutada de . Em seguida, é constante em classes laterais de e distinto em classes laterais distintas (nota que a imagem de $S_n$ $n$ $f$ $f(p)=p(G)$ $p$ $S_n$ $p(G)$ $G$ $f$ $Aut(G)$ $f$ consiste em todos os gráficos isomórficos para ). Desde o subgrupo escondido é exatamente , se pudéssemos resolver este HSP então teríamos o grupo gerador para , que é tudo o que precisamos para resolver GI (veja acima). $G$ $Aut(G)$ $Aut(G)$

A redução para a HSP mais de . Se queremos saber se dois gráficos e nos vértices são isomórficos, considere o gráfico que é a união disjunta de e nos vértices. Deixe- agir sobre os vértices trocando com para . Qualquer $S_n \wr \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $G$ $H$ $n$ $K$ $G$ $H$ $2n$ $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $i$ $n+i$ $i=1,...,n$ ou . Como antes, deixe $Aut(K) = Aut(G) \times Aut(H)$ $Aut(K) = (Aut(G) \times Aut(H)) semidirect \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ onde é agora um elemento de que age em como descrito. O subgrupo escondido associada a é exactamente , como na redução anterior. Se resolvermos este HSP, temos um grupo gerador para . É fácil verificar se o grupo gerador contém algum elemento que troque a cópia de pela cópia de dentro $f(x)=x(K)$ $x$ $S_n \wr \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $K$ $f$ $Aut(K)$ $Aut(K)$ $G$ $H$ (possuicomponente não trivial). $K$ $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$

— Joshua Grochow
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Você pode ler a recente postagem no blog de Dave Bacon sobre Graph Isomorphism, com links para a literatura.

— Martin Schwarz
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"Algoritmos quânticos para problemas algébricos" de Andrew Childs e Wim van Dam arXiv: 0812.0380 é um artigo de pesquisa muito bom que contém uma boa introdução ao HSP não-abeliano e sua relação com o isomorfismo de grafos.

— dabacon
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