O problema do quadrado mágico meio cheio está NP-completo?


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Aqui está o problema:

Temos um quadrado com alguns números de 1..N em algumas células. É necessário determinar se ele pode ser concluído em um quadrado mágico.

Exemplos:

2 _ 6       2 7 6
_ 5 1  >>>  9 5 1
4 3 _       4 3 8

7 _ _ 
9 _ _  >>>  NO SOLUTION 
8 _ _

Esse problema está completo? Se sim, como posso provar isso?

Crosspost em MS


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Não, pedir ajuda não é uma coisa ruim. Mas sua pergunta deve estar no escopo do site que você pediu. Eu acho que o Math SE é adequado para essa pergunta, e o TCS SE não.
Hsien-Chih Chang #

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Aceitamos perguntas sobre a comprovação da dureza NP, especialmente quando o problema é difícil. Por exemplo, considere os três exemplos listados como respostas aqui: meta.cstheory.stackexchange.com/questions/784/…
Suresh Venkat

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Se é lição de casa, não permitimos, seja antiético ou não.
Peter Shor

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@levanovd: Este não é o stackoverflow. Esta comunidade possui uma política explícita que proíbe perguntas sobre trabalhos de casa. O fato de o stackoverflow ter uma política diferente não importa aqui.
Jeffε

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Não conheço uma solução e não acho que isso esteja no nível da lição de casa. No entanto, posso estar perdendo algo simples. Portanto, se alguém conhece uma solução completa e acha que essa pergunta é do nível da lição de casa, basta dizer isso. Enquanto isso, assumirei que essa pergunta não é lição de casa e que a tag [lição de casa] usada no Math SE e no comentário anterior de levanovd foram simplesmente erros.
Tsuyoshi Ito

Respostas:


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O preenchimento de um quadrado latino parcialmente preenchido é NP-Complete. "A complexidade de completar quadrados latinos parciais" Charles J. Colbourn. Matemática Aplicada Discreta, Volume 8, Edição 1, Abril de 1984, Páginas 25-30 http://dx.doi.org/10.1016/0166-218X(84)90075-1

Um problema do quadrado latino pode ser transformado em um problema do quadrado mágico por aritmética modular? Minha intuição diz que sim, mas o resto do meu cérebro diz "Volte para a nota!"


2
Seria bom transformar isso em um argumento rigoroso. Não está nada claro para mim como a aritmética modular realmente ajudaria a reduzir a COMPLETA QUADRADA LATINA para COMPLETA QUADRADA MÁGICA, ou vice-versa. Seria bastante bonito se pudesse ser feito para funcionar.
András Salamon

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Essa pergunta tem duas partes: primeiro, o problema está no NP e, segundo, é difícil no NP?

Para a primeira parte, tenho uma resposta positiva com uma prova não óbvia. (Agradecemos a Suresh por apontar um erro anterior.)


Considere a seguinte maneira de formalizar a pergunta como um problema de decisão:

UNRESTRICTED QUADRADO MÁGICO CONCLUSÃO
Entrada: inteiro positivo dada em unário, lista de números inteiros com suas posições em um n por n grade Pergunta: fazer existem inteiros para os cargos restantes no grid, de modo que as formas de arranjo um quadrado mágico ?nnn

Se adicionarmos a restrição de que cada um dos números inteiros deve ocorrer precisamente uma vez no quadrado mágico, o problema resultante da decisão MAGIC SQUARE COMPLETION resultante está obviamente em NP. A definição de um quadrado mágico na Encyclopædia Britannica de 1911 , seguindo Euler , tem essa restrição; por outro lado, o artigo da Wikipedia atualmente usa a terminologia "quadrado mágico normal" e reserva "quadrado mágico" para a versão irrestrita.1,2,...,n2

Com um por n grid, pelo menos n números deve ser dada, caso contrário, a resposta é trivialmente "SIM" para a versão sem restrições. Portanto, o tamanho da entrada pode exigir mais de n bits neste caso. Para a versão normal, é possível que haja entradas que exijam poucos bits, mas que não tenham solução; para evitar tais complicações, especifiquei que n é dado em unário.nnnnn

O argumento usa um limite no tamanho possível de números inteiros que aparecem nas soluções. No caso normal, esse limite é obviamente , mas no caso geral, não é a priori óbvio que esse limite exista. Acontece que existe um limite exponencial.n2

Teorema ( Tyszka, Teorema 12 ): Qualquer sistema de equações diofantinas envolvendo equações da forma e x i = x j + x k , para i , j , k { 1 , 2 , , n } , também não tem solução inteira, ou tem uma solução na qual todo x i é um número inteiro e, no máximo, xEu=1xEu=xj+xkEu,j,k{1,2,...,n}xEuem valor absoluto.5n-1

Isso também apareceu como Teorema 4.7 em:

Cipu anunciou recentemente um limite assintoticamente melhor de . (Observe que o menor limite possível é 2 n - 1. ) O argumento se baseia em um limite no determinante de uma matriz, devido a Waldi.2n2n-1

xEu=1xEu=xj+xkEu,j,k{1,2,...,n}xEu2n

2n-1

Isso produz o seguinte:

N2O(N2)

O(N4)O(N8)n2+2(n+1)(n-2)+1=3n2-2n-3n-2mO(m2)

n


Usando o Papadimitriou's vinculado às soluções de uma instância de INTEGER LINEAR PROGRAMMING, pode-se também mostrar que a versão em que todos os números devem ser não-negativos também está em NP.

UMAr×sbr{-uma,-uma+1,...,uma-1,uma}UMAx=b{0 0,1,...,s(ruma)2r+1}

uma=1s=n2+1r=2n+2

  • Christos H. Papadimitriou, Sobre a complexidade da programação inteira , JACM 28 765–768, 1981. ( link )

Acho que estou confuso. se houver um limite de poligonal no tamanho das respostas, temos a certeza de ter um palpite que pode ser lido e verificado em tempo polinomial.
Suresh Venkat

@Suresh: Desculpas pelos erros, esta resposta acabou sendo um pouco mais difícil de escrever do que eu esperava.
András Salamon
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