Essa pergunta tem duas partes: primeiro, o problema está no NP e, segundo, é difícil no NP?
Para a primeira parte, tenho uma resposta positiva com uma prova não óbvia. (Agradecemos a Suresh por apontar um erro anterior.)
Considere a seguinte maneira de formalizar a pergunta como um problema de decisão:
UNRESTRICTED QUADRADO MÁGICO CONCLUSÃO
Entrada: inteiro positivo dada em unário, lista de números inteiros com suas posições em um n por n grade Pergunta: fazer existem inteiros para os cargos restantes no grid, de modo que as formas de arranjo um quadrado mágico ?nnn
Se adicionarmos a restrição de que cada um dos números inteiros deve ocorrer precisamente uma vez no quadrado mágico, o problema resultante da decisão MAGIC SQUARE COMPLETION resultante está obviamente em NP. A definição de um quadrado mágico na Encyclopædia Britannica de 1911 , seguindo Euler , tem essa restrição; por outro lado, o artigo da Wikipedia atualmente usa a terminologia "quadrado mágico normal" e reserva "quadrado mágico" para a versão irrestrita.1 , 2 , … , n2
Com um por n grid, pelo menos n números deve ser dada, caso contrário, a resposta é trivialmente "SIM" para a versão sem restrições. Portanto, o tamanho da entrada pode exigir mais de n bits neste caso. Para a versão normal, é possível que haja entradas que exijam poucos bits, mas que não tenham solução; para evitar tais complicações, especifiquei que n é dado em unário.nnnnn
O argumento usa um limite no tamanho possível de números inteiros que aparecem nas soluções. No caso normal, esse limite é obviamente , mas no caso geral, não é a priori óbvio que esse limite exista. Acontece que existe um limite exponencial.n2
Teorema ( Tyszka, Teorema 12 ): Qualquer sistema de equações diofantinas envolvendo equações da forma e x i = x j + x k , para i , j , k ∈ { 1 , 2 , … , n } , também não tem solução inteira, ou tem uma solução na qual todo x i é um número inteiro e, no máximo, √xEu= 1xEu= xj+ xki , j , k ∈ { 1 , 2 , … , n }xEuem valor absoluto.5-√n - 1
Isso também apareceu como Teorema 4.7 em:
Cipu anunciou recentemente um limite assintoticamente melhor de . (Observe que o menor limite possível é 2 n - 1. ) O argumento se baseia em um limite no determinante de uma matriz, devido a Waldi.2n2n - 1
xEu= 1xEu= xj+ xki , j , k ∈ { 1 , 2 , …, n }xEu2n
2n - 1
Isso produz o seguinte:
N2O ( N2)
O ( N4)O ( N8)n2+ 2 ( n + 1 ) ( n - 2 ) + 1 = 3 n2- 2 n - 3n - 2mO ( m2)
n
Usando o Papadimitriou's vinculado às soluções de uma instância de INTEGER LINEAR PROGRAMMING, pode-se também mostrar que a versão em que todos os números devem ser não-negativos também está em NP.
UMAr × sbr{ - a , - a + 1 , … , a - 1 , a }A x = b{ 0 , 1 , … , s ( r a )2 r + 1}
a = 1s = n2+ 1r = 2 n + 2
- Christos H. Papadimitriou, Sobre a complexidade da programação inteira , JACM 28 765–768, 1981. ( link )