Complexidade da comunicação ... Classes?

Discussão :

Ultimamente, tenho passado algum tempo pessoal aprendendo várias coisas sobre a complexidade da comunicação. Por exemplo, me familiarizei novamente com o capítulo relevante em Arora / Barak, comecei a ler alguns papéis e pedi o livro de Kushilevitz / Nisan. Intuitivamente, quero contrastar a complexidade da comunicação com a complexidade computacional. E, em particular, fico impressionado com o fato de que a complexidade computacional se transformou em uma rica teoria de colocar problemas computacionais em classes de complexidade, algumas das quais podem ser, por sua vez ( de uma perspectiva, pelo menos ) previstas em termos de problemas completos para cada aula. Por exemplo, ao explicar $NP$ para alguém pela primeira vez, é difícil evitar comparações com o SAT ou algum outro problema de NP-completo.

Por comparação, nunca ouvi falar de um conceito análogo para classes de complexidade de comunicação. Conheço muitos exemplos de problemas "completos para um teorema". Por exemplo, como um quadro geral, os autores poderia descrever um determinado problema de comunicação e, em seguida, provar que um teorema relacionado T detém i f f o problema de comunicação pode ser resolvido em X ou menos bits (para alguns X que depende do teorema específico / par de problemas em questão). A terminologia usada na literatura, em seguida, é que P é "completa" para t .$P$$T$$iff$$X$$X$$P$$T$

Além disso, há uma linha tentadora no capítulo comunicação complexidade projecto Arora / Barak (que parece ter sido removido / mexido na impressão final) que os estados "Em geral, pode considerar-se os protocolos de comunicação análogos , C O N P , P H etc. " No entanto, noto duas omissões importantes:$NP$$coNP$$PH$

1. O conceito "análogo" parece ser uma maneira de calcular a complexidade da comunicação de resolver um determinado protocolo com acesso a diferentes tipos de recursos, mas para um pouco antes de definir as classes de complexidade de comunicação adequadas ...
2. A maior parte da complexidade da comunicação parece ser relativamente "de baixo nível", no sentido de que a esmagadora maioria dos resultados / teoremas / etc. giram em torno de valores pequenos, específicos e de tamanho polinomial. Isso de certa forma levanta a questão de por que, digamos, é interessante para computação, mas o conceito análogo parece ser menos interessante para comunicação. (Obviamente, eu poderia estar errado por simplesmente desconhecer os conceitos de complexidade de comunicação de "nível superior".) $NEXP$

Pergunta (s) :

Existe um conceito análogo às classes de complexidade computacional para complexidade de comunicação?

E:

Se sim, como ele se compara à noção "padrão" de classes de complexidade? (por exemplo, existem limitações naturais para as "classes de complexidade da comunicação" que as fazem ficar inerentemente abaixo de toda a gama de classes de complexidade computacional?). pela complexidade da comunicação?

Parece que você está procurando este documento: http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1382439.1382962

As classes de complexidade na complexidade da comunicação foram introduzidas por Babai, Frankl, Simon no artigo citado por Noam. O artigo também desenvolve a idéia de completude com reduções adequadas. Se, por exemplo, você descreve as classes NP e co-NP, faz muito sentido descrever também o problema de disjunção (co-NP completo).

Quanto às suas segundas perguntas, se P é (na complexidade da comunicação) a classe de problemas solucionáveis ​​com a comunicação polylog (n) deterministicamente, a classe EXP deve ser o conjunto de problemas solucionáveis ​​com a comunicação poli (n), que simplesmente é tudo. Portanto, parece que essas classes não são interessantes.

No entanto, existe outra maneira de obter classes maiores. O PSPACE já é definido (por Babai et al.) Não em termos de alguma noção de espaço, mas em termos de alternância. As provas interativas são outra maneira de obter grandes classes de complexidade. Assim, você pode definir a classe MIP como o conjunto de problemas que podem ser resolvidos em um jogo de comunicação com dois provadores (que não conseguem se comunicar) e dois verificadores (que podem conversar entre si e com os provadores).

No mundo das máquinas de Turing, MIP = NEXP, mas e na complexidade da comunicação (onde o NEXP não parece fazer sentido)? Primeiro, o MIP não é apenas o conjunto de todos os problemas devido a um simples argumento de contagem.

Andrew Drucker (em sua tese de mestrado) mostrou algo interessante sobre essa classe. Ele considera os PCPs na complexidade da comunicação, que (por técnicas padrão) são equivalentes aos protocolos MIP (seu resultado é um pouco mais forte do que o que afirmo aqui).

O que ele mostra é que, para cada problema no NP (a classe da máquina de Turing) e qualquer maneira de dividir as entradas, o problema de comunicação resultante possui um protocolo MIP com o polilog de comunicação (n) (ou seja, o problema está na (complexidade da comunicação) classe MIP).

Portanto, embora o MIP não seja tudo, encontrar um problema explícito que não esteja no MIP deve ser difícil (não porque não possamos encontrar problemas que não estejam no NP, mas porque não é fácil imaginar como a complexidade da máquina de Turing pode entrar em jogo )

Que mostrar limites mais baixos para o MIP seja difícil talvez não seja surpreendente, porque nem sabemos como provar limites inferiores para os protocolos AM.

Uma seção do Zoológico da Complexidade lista as classes mais importantes da Complexidade da Comunicação.

A razão fundamental pela qual existem tais limitações na complexidade da comunicação é que só existe uma quantidade linear de informações totais que precisam ser comunicadas (as entradas). Embora Hartmut Klauck já tenha apontado isso essencialmente em sua resposta, eu queria destacar uma resposta para o outro OQ referente à razão subjacente a essa limitação fundamental, a saber, que os jogadores são computacionalmente ilimitados .

$d(n)$$O(d(n)\log n)$$d(n)=O(1)$