Considere o seguinte jogo para 2 jogadores:
- A natureza escolhe aleatoriamente um programa
- Cada jogador toca um número em [0, infinito], inclusive em resposta ao movimento da natureza
- Pegue o mínimo dos números dos jogadores e execute o programa por (até) muitas etapas (a menos que ambos os jogadores tenham escolhido o infinito)
- Se o programa parar, o jogador que jogou o número mínimo ganha 1 ponto. Se o programa não parar, esse jogador perde 1 ponto. Qualquer jogador que jogou um número não mínimo recebe 0 pontos, e ambos recebem 0 se ambos jogam infinito.
(Os casos de canto podem ser tratados da maneira que melhor preservar o espírito do problema - por exemplo, a semicontinuidade superior pode ser útil.)
A questão: este jogo possui um equilíbrio computável de Nash?
Sem o requisito de computabilidade, cada jogador apenas executa o número exato de etapas em que o programa pára (ou infinito, se não parar).
Se você tentar o argumento usual de diagonalização para o problema de interrupção, descobrirá que existe um equilíbrio em estratégias mistas; portanto, a abordagem óbvia não funciona imediatamente. Talvez haja alguma maneira de ajustá-lo?
Por outro lado, a equivalência de campos reais fechados significa que jogos finitos com payoffs computáveis têm equilíbrios computáveis . Este jogo não é finito, mas o espaço da estratégia está fechado e as recompensas computáveis, então talvez o mesmo truque possa ser aplicado com o Teorema de Glicksberg ou algo nesse sentido? O problema é que, sem o requisito de computabilidade, o equilíbrio está em estratégias puras, portanto, qualquer tentativa de provar a existência de um equilíbrio computável usando a existência de um equilíbrio talvez computável deve explicar por que o equilíbrio é rebaixado de puro para misto.
Esse parece ser o tipo de problema em que as pessoas podem não ter abordado exatamente essa pergunta antes, mas podem ter procurado algo semelhante. Não pude aparecer muito, mas se alguém souber de algo em espírito, me avise!
Motivação: existe uma intuição comum de que a auto-referência é o principal bloco da computabilidade - ou seja, que qualquer problema incontestável de alguma forma incorpora a auto-referência. Se um jogo desse tipo tivesse um equilíbrio computável de Nash, isso forneceria evidências dessa intuição.
ATUALIZAÇÃO: Para esclarecer, o equilíbrio deve ser "computável" no sentido de números reais computáveis: as probabilidades que descrevem a distribuição da estratégia mista devem ser computáveis com precisão arbitrária. (Observe que apenas muitas probabilidades finitas estarão acima de qualquer corte de precisão específico.) Isso também significa que podemos amostrar a partir de uma aproximação arbitrariamente próxima da estratégia de equilíbrio.