Conclusões da força matemática reversa do teorema menor do gráfico

Digamos que temos uma propriedade de gráfico que pode ser verificada em tempo polinomial não determinístico e uma prova em um sistema formal fraco (por exemplo, RCA ₀ ) de que a propriedade é menor fechada. Podemos dizer algo sobre a força de um sistema formal, que é capaz de provar que um determinado conjunto finito de menores excluídos caracteriza a propriedade do gráfico?

Contexto É sabido que já uma versão simples (sem um conjunto de rótulos quase ordenado) do teorema da árvore de Kruskal é improvável no ATR ₀ e o teorema menor do gráfico é uma generalização desse teorema que não é sequer possível em Π ¹ ₁ -CA ₀ . Friedman usou essa versão simples do teorema da árvore de Kruskal para construir a função TREE (n) de crescimento rápido e usou o teorema menor do gráfico para construir a função SSCG (n) de crescimento ainda mais rápido . Essas são boas demonstrações de conclusões sobre o conteúdo computacional a partir da força matemática reversa, mas deixam a pergunta mais direta colocada acima sem resposta.

Nomeadamente, relacionado ao teorema menor do gráfico está a prova de que propriedades fechadas menores podem ser testadas em tempo cúbico determinístico, se alguém souber a lista de menores excluídos para essa propriedade. Por isso, é natural se perguntar o quão "impossível" é provar que se encontrou todos os menores excluídos para uma dada propriedade fechada menor "fácil" (conforme precisado na pergunta). Como essa é uma tarefa "não uniforme", não está claro para mim se a "impossibilidade" dessa tarefa está relacionada à "dificuldade" (ou seja, força matemática reversa) de provar o próprio teorema menor do gráfico.

Como a versão simples do teorema da árvore de Kruskal coloca exatamente as mesmas perguntas que o teorema menor do gráfico, as respostas podem se concentrar nesse problema mais simples, se eles quiserem. Acabei de usar o teorema menor do gráfico, porque a pergunta parece mais natural dessa maneira. (É possível que essa pergunta possa ter sido mais adequada para MSE ou MSO, pelo menos no que diz respeito a obter uma resposta definitiva. Mas a motivação dessa pergunta está mais relacionada ao TCS, por isso decidi perguntar aqui.)

Não sei se entendi sua pergunta, mas se você está perguntando o quão difícil é calcular o conjunto de obstruções, você pode estar interessado no seguinte http://www.jucs.org/doi?doi=10.3217/jucs- 003-11-1194, onde a não computabilidade é comprovada, mesmo que a classe do gráfico seja definível por MSOL. Neste artigo, http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012365X97830798?via%3Dihub, a computabilidade é comprovada quando a classe de gráfico é dada pela gramática de RH.