Tempo quasipolynomial do Does Babai

Eu tenho uma pergunta (espero que simples, talvez idiota) no artigo de referência de Babai, mostrando que é quase-polinomial.$\mathsf{GI}$

Babai mostrou como produzir um certificado com dois gráficos para i ∈ { 1 , 2 } são isomórficos, no tempo quase-polinomiais em v = | V i | .$G_i=(V_i,E_i)$$i\in\{1,2\}$$v=|V_i|$

Babai realmente mostrou como encontrar um elemento que permeia os vértices de G 1 a G 2 , ou o certificado é apenas uma declaração de existência?$\pi\in S_v$$G_1$$G_2$

Se um oráculo me diz que e são isomorfos, eu ainda preciso olhar através de todospermutações dos vértices?$G_1$$G_2$$v!$

Eu pergunto porque também penso em equivalência de nós. Até onde eu sei, não se sabe, mas digamos que a detecção do nó estava em . Na verdade, encontrar uma sequência de movimentos de Reidemeister que desatam o nó ainda pode levar um tempo exponencial ...$\mathsf{P}$

Esses problemas são polinomialmente equivalentes. De fato, suponha que você tenha um algoritmo que possa decidir se dois gráficos são isomórficos ou não, e alega que eles são. Anexe uma camarilha do tamanho a um vértice arbitrário de cada gráfico. Teste se os gráficos resultantes são isomórficos ou não. Se estiverem, podemos concluir que existe um isomorfismo que mapeia os respectivos vértices um para o outro, portanto podemos excluí-los. Repetindo este teste n vezes, podemos encontrar (uma possível) imagem para qualquer vértice. Depois disso, anexamos outra camarilha, desta vez com tamanho n + $n+1$$n$$n+2$para um vértice arbitrário (diferente) de cada gráfico original e continuar como antes, etc. Eventualmente, terminaremos com dois gráficos isomórficos, com panelinhas do tamanho penduradas em seus vértices, o que torna o isomorfismo único.$n+1,\ldots n+n$

Mais específico ao algoritmo de Babai: sim, o algoritmo não apenas encontra um isomorfismo, mas também gera geradores do grupo automorfismo (e, portanto, efetivamente encontra todos os isomorfismos) como parte do algoritmo, ou seja, sem a redução da resposta de domotorp.

Em termos de decidir a existência de um isomorfismo (resp., Desmarcar) vs encontrar um, a palavra-chave a ser pesquisada é "pesquisa versus decisão" ou "redução da pesquisa para decisão" ("redução da pesquisa para decisão" etc.). Essa redução é conhecida pelo isomorfismo de grafos e por problemas de NP completos, mas é uma questão em aberto para estruturas algébricas como grupos e, acredito, nós, exatamente porque não sabemos como adicionar "gadgets" "como na resposta da domotorp.