Em conjuntos completos esparsos e P vs L

Teorema de Mahaney nos diz que se há uma escassa conjunto -completo sob de tempo polinomial muitos one-reduções, então P = N P . (Veja " Conjuntos completos esparsos para NP: solução de uma conjectura de Berman e Hartmanis ")$NP$$P = NP$

Existem consequências conhecidas da existência de conjuntos completos esparsos para outras classes de complexidade? Em particular, se houver um conjunto incompleto de esparso no espaço de registro, muitas reduções de uma, isso implica P = L ?$P$$P = L$

Sim, exatamente o que você sugeriu é verdade: se há uma escassa conjunto -completo sob log de espaço muitas one-reduções, então P = L . Isso foi conjecturado por Hartmanis em 1978 e comprovado por Cai e Sivakumar em 1995. Veja este artigo .$\mathbf{P}$$\mathbf{P} = \mathbf{L}$

Hartmanis também conjecturado que, se houver um escasso conjunto -completo sob log-espaço muitas one-reduções, em seguida, N L = L . Isso também foi comprovado por Cai e Sivakumar em 1997; veja este outro artigo .$\mathbf{NL}$$\mathbf{NL} = \mathbf{L}$