Qual é a probabilidade de uma função booleana aleatória ter um grupo trivial de automorfismo?

Dada uma função booleana , temos o grupo automorfismo .A u t ( f ) = { σ ∈ S n ∣ ∀ x , f ( σ ( x ) ) = f ( x ) $f$$Aut(f) = \{\sigma \in S_n\ \mid \forall x, f(\sigma(x)) = f(x) \}$

Existem limites conhecidos no ? Existe algo conhecido por quantidades do formato para algum grupo ?P r f ( G ≤ A u t ( f ) ) $Pr_f(Aut(f) \neq 1)$$Pr_f(G \leq Aut(f))$$G$

Sim. Para sua primeira pergunta, a probabilidade chega a zero duas vezes exponencialmente rápido. Isso pode ser calculado da seguinte maneira. Para cada permutação , podemos limitar a probabilidade de que , ou seja, que para todos os . Considere as órbitas de atuando em . Temos que é um automorfismo de se é constante nos -orbits. Se não é trivial, ele tem pelo menos uma órbita em que não é um singleton e, portanto, pelo menos em órbita emπ ∈ A u t ( f ) f ( π ( x ) ) = f ( x ) x ∈ { 0 , 1 } nπ { 0 , 1 } n π { 0 , 1 } n π f f π π [ n ] { 0 , 1 } n k π [ n ] c 1 c 2 ∑ $\pi$$\pi \in Aut(f)$$f(\pi(x)) = f(x)$$x \in \{0,1\}^n$$\pi$$\{0,1\}^n$$\pi$$f$$f$$\pi$$\pi$$[n]$$\{0,1\}^n$isso não é um singleton. Suponha que a órbita tenha elementos. A probabilidade de que f seja constante nessa órbita é, portanto, precisamente 2 - ( k - 1 ) . Suponha que agindo em tenha pontos fixos, ciclos de comprimento 2, etc. (em particular ). Então o número de pontos de fixado por é precisamente . Todos os pontos restantes de estão em órbitas não triviais de$k$$f$$2^{-(k-1)}$$\pi$$[n]$$c_1$$c_2${0,1}nπ2Σici{0,1}nππ∈Umut(f){0,1}nPr(π∈Umut(f))≤(1/2)M$\sum_{i=1}^n i c_i = n$$\{0,1\}^n$$\pi$$2^{\sum_i c_i}$$\{0,1\}^n$$\pi$. Para limitar acima a probabilidade de , observe que a melhor possibilidade é se todos os elementos não fixos de tiverem órbitas de tamanho 2. Portanto, obtemos esse que . Agora, queremos um limite inferior em , o que significa que queremos um limite superior em . Como , a maior pode ser quando e , ou seja, e , então e$\pi \in Aut(f)$$\{0,1\}^n$ H= 2 n - 2 Σ i c i H Σ i c i ¸≠1Σ c i c 1 =N-2 c 2 =1Σ c i =n-1M= 2 n - 2 n - 1 = 2 n - 1 M≥ 2 n - 1 P$Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{M/2}$$M = 2^n - 2^{\sum_i c_i}$$M$$\sum_i c_i$$\pi \neq 1$$\sum c_i$$c_1 = n-2$$c_2 = 1$$\sum c_i = n-1$$M = 2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}$$M \geq 2^{n-1}$$Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{2^{n-2}}$ . Agora aplique o limite da união:, então , que é basicamente como , rapidamente.$|S_n| = n!$$Pr((\exists \pi \in S_n)[\pi \neq 1 \text{ and } \pi \in Aut(f)]) \leq n! 2^{-2^{n-2}}$$2^{n \lg n - 2^{n-2}} \to 0$$n \to \infty$

Para qualquer você poderia usar um raciocínio semelhante, mas a probabilidade também chegará a zero muito rapidamente.$G \leq S_n$