Número mínimo de transposições para classificar uma lista

Ao tentar criar meu próprio algoritmo de classificação, estou procurando o benchmark ideal com o qual posso compará-lo. Para uma ordem não classificada dos elementos A e uma ordem classificada B , qual é uma maneira eficiente de calcular o número ideal de transposições para ir de A a B ?

Uma transposição é definida como alternar a posição de 2 elementos na lista, portanto, por exemplo

1 2 4 3

tem uma transposição (transposição 4 e 3) para torná-lo

1 2 3 4

Algo como

1 7 2 5 9 6

requer 4 transposições (7, 2), (7, 6), (6,5), (9, 7)

Atualização (7/9/11): a pergunta foi alterada para usar "transposição" em vez de "swaps" para se referir a trocas não adjacentes.

ds.algorithms co.combinatorics sorting

— sova
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e se você puder trocar de vizinhos? como posso descobrir o número mínimo de swaps?

Respostas:

Se você está lidando apenas com permutações de elementos, precisará de exatamente swaps, onde é o número de ciclos na decomposição do ciclo separado de . Uma vez que esta distância é bi-invariante, transformando em (ou em , ou vice-versa) requer tais movimentos. $n$ $n-c(\pi)$ $c(\pi)$ $\pi$ $\pi$ $\sigma$ $A$ $B$ $n-c(\sigma^{-1}\circ\pi)$

— Anthony Labarre
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Apesar de votar a muito tempo atrás, apenas clicou hoje. Como um cubo de Rubik, certo: D?

— S05

A distância de troca também pode ser incorporada isometricamente no espaço euclidiano. Para cada string s, construa uma matriz que se ocorrer antes de e for zero, caso contrário. Então a distância de Frobenius é a distância de troca . (dos slides de Graham Cormode ). Não é tão elegante quanto a resposta de Anthony, mas bastante fácil de calcular. $M(s)$ $M_{ij} = 1$ $i$ $j$ $\|M(s) - M(s')\|^2$ $d(s,s')$

Atualização: veja os comentários de Oleksandr

— Suresh Venkat
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Parece-me que, na apresentação de Graham, eles significam norma espectral (

) e não norma de Frobenius (

‖ A ‖_{2}

$\|A\|_2$

‖ A ‖_{F}

$\|A\|_F$

— Oleksandr Bondarenko

embora se tudo o que você quer fazer é contar as diferenças, o quadrado da norma frobenius deve funcionar corretamente?

— Suresh Venkat

que é, naturalmente, a distância Hamming para 0-1 matrizes

— Suresh Venkat

Você está certo sobre a igualdade entre o quadrado da norma Frobenius e a distância de Hamming. Gostaria de acrescentar que a distância de Hamming dividida por

é igual à distância de troca. Mas a questão era sobre a distância de transposição ("Uma troca é definida como alternar a posição de 2 elementos na lista") e não sobre a distância de troca. No que diz respeito à norma espectral, é o quadrado igual a trocar distância.

2

$2$

— Oleksandr Bondarenko

Oleksandr: Então, suponho que você interprete "troca" como "trocando dois elementos adjacentes"?

— Anthony Labarre