O não determinismo é, em média, inútil para circuitos?

Savický e Woods (o número de funções booleanas calculadas por fórmulas de um determinado tamanho) provam o seguinte resultado.

Teorema [SW98]: Para cada constante $k>1$ , quase todas as funções booleanas com complexidade de fórmula no máximo $n^k$ têm complexidade de circuito pelo menos $n^k/k$ .

A prova consiste em derivar um limite inferior em $B(n,n^k)$ , o número de funções booleanas em $n$ entradas calculadas por fórmulas de tamanho $n^k$ . Ao comparar $B(n,n^k)$ com o número de circuitos de tamanho $C = n^k/k$ , que é no máximo $C^{C}e^{C+4n}$ , pode-se perceber que, para grandes $n$ , $C^{C}e^{C+4n} << B(n,n^k)$, e o resultado segue.

Parece-me que o resultado poderia ser fortalecido observando que o número de circuitos não determinísticos de tamanho $n^k$ com $m$ entradas não determinísticas não é muito maior que o número de circuitos determinísticos de tamanho $n^k$ (para $m$ não muito grande, digamos $m=n$ ) Portanto, acho que o seguinte corolário é válido:

Corolário: Para cada constante $k>1$ , quase todas as funções booleanas com complexidade de fórmula no máximo $n^k$ têm complexidade de circuito não determinística pelo menos $n^k/k$ (para circuitos não determinísticos com $n$ entradas não determinísticas).

(Lembre-se de que um circuito não determinístico possui, além das entradas comuns , um conjunto de entradas "não determinísticas" y = ( y 1 , … , y m ) . Um circuito não determinístico C aceita entrada x se existir y, de modo que o circuito emita 1 em ( x , y ) ).$x = (x_1,\dots,x_n)$$y=(y_1,\dots,y_m)$$C$$x$$y$$1$$(x,y)$

Obviamente, o limite inferior em também é um limite inferior no número de funções booleanas em n entradas calculadas por circuitos de tamanho n k , portanto, "complexidade da fórmula no máximo n k " pode ser substituída por "circuito complexidade no máximo n k "no corolário. O corolário também pode ser declarado como: para funções com complexidade de circuitos polinomiais, a mudança para circuitos não determinísticos não pode, em média, diminuir a complexidade em mais do que um fator constante.$B(n,n^k)$$n$$n^k$$n^k$$n^k$

Questões:

(1) Existem implicações / consequências interessantes do corolário acima?

(2) Existem outros resultados na mesma direção? Por exemplo, o que se sabe sobre a seguinte proposição? Para problemas em P, a mudança de TMs para NTMs não pode, em média, diminuir a complexidade em mais do que um fator constante.

(Gil Kalai também tem uma pergunta um pouco relacionada a essa.)

1) Perceba que o não determinismo é um arenque vermelho aqui. Você poderia ter usado alternância ou circuitos com portas que resolvem o problema da parada. Tudo se resume a um argumento de contagem simples: depois de corrigir o modelo, você só pode calcular funções que têm uma descrição de k bits.$2^k$$k$

2) Para classes uniformes como P, isso é mais desafiador, pois não há uma definição clara de "função média em P" e os argumentos de contagem não funcionam mais de maneira tão limpa. É consistente com o conhecimento atual que tudo em P pode ser resolvido em tempo linear não determinístico.