Decidindo se um intervalo contém um número primo

Qual é a complexidade de decidir se um intervalo dos números naturais contém um primo? Uma variante da Peneira de Eratóstenes fornece um algoritmo , onde é a duração do intervalo e oculta fatores polialogarítmicos no ponto inicial do intervalo; podemos fazer melhor (apenas em termos de )? $\tilde O(L)$ $L$ $\sim$ $L$

— Elliot Gorokhovsky
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Nitpick: The Sieve of Eratóstenes não fornece apenas fatores polilogarítmicos no ponto de partida, mesmo para um intervalo de comprimento 1. É realmente possível verificar se um número é primo, se o tempo é polilogarítmico no número (= polinômio no tamanho da representação), mas isso requer um algoritmo muito mais sofisticado do que a peneira de Eratóstenes.

— Vanessa

@Squark True, deveria ter especificado "pseudoprime em relação a uma base de fatores especificada". Embora como o ponto do intervalo começando se torna grande, o custo esperado de teste de primalidade vai a zero ...

— Elliot Gorokhovsky

Disclaimer : Eu não sou um especialista em teoria dos números.

Resposta curta : se você estiver disposto a assumir "conjecturas teóricas razoáveis", podemos dizer se existe um primo no intervalo no tempo . Se você não está disposto a fazer tal suposição, então há uma bela algoritmo devido a Odlyzko que atinge , e eu acredito que este é o mais conhecido. $[n, n+\Delta]$ $\mathrm{polylog}(n)$ $n^{1/2 + o(1)}$

Link muito útil com muitas informações excelentes sobre um problema intimamente relacionado : Projeto PolyMath sobre algoritmos determinísticos para localização de números primos .

Resposta longa :

Esse é um problema difícil, uma área ativa de pesquisa, e parece estar intimamente ligado à difícil questão de estabelecer lacunas entre os primos. Seu problema é moralmente muito semelhante ao de encontrar um primo entre e deterministicamente, que foi recentemente o assunto de um projeto PolyMath . (Se você realmente quiser se aprofundar nessas questões, esse link é um ótimo ponto de partida.) Em particular, nossos melhores algoritmos para os dois problemas são essencialmente os mesmos. $n$ $2n$

Nos dois casos, o melhor algoritmo depende muito do tamanho das lacunas entre os primos. Em particular, se é tal que sempre existe um primo entre e ( pode ser computado com eficiência), então sempre podemos encontrar um primo no tempo como se segue. Para determinar se existe um primo entre e $f(n)$ $n$ $n + f(n)$ $f(n)$ $\mathrm{polylog}(n) \cdot f(n)$ $n$ , verifique primeiro se . Se sim, emita sim. Caso contrário, basta percorrer os números inteiros entre e e testar cada um quanto à primalidade e responder sim se você encontrar um primo e não o contrário. (Isso pode ser feito deterministicamente, e é por isso que encontrar determinamente um primo entre e está tão intimamente relacionado à determinação de se existe um primo em um determinado intervalo.) $n + \Delta$ $\Delta \geq f(n)$ $n$ $n + \Delta$ $n$ $2n$

Se os números primos se comportar como nós pensamos que eles fazem, então este é o fim da história (até fatores). Em particular, esperamos poder tomar . Isso é conhecido como conjectura de Cramér depois de Harald Cramér, e provando que parece muito distante do alcance no momento. Mas, tanto quanto eu sei, é amplamente aceito. (Chega-se a essa conjectura, por exemplo, a partir da heurística de que os primos se comportam como o conjunto aleatório de números inteiros obtido pela inclusão de cada número inteiro $\mathrm{polylog}(n)$ $f(n) = O(\log^2 n)$ $n \geq 3$ independentemente aleatoriamente com probabilidade .) $1/\log n$

Existem muitas conjecturas que implicam o limite muito mais fraco , comoa conjectura de Legendre. (Não conheço nenhuma conjectura que implique um limite intermediário, embora eu imagine que exista.) E, sabe-se que a hipótese de Riemann implica o limite similar $f(n) \leq O(\sqrt{n})$ . Portanto, se você assume essas conjecturas, combina essencialmente o algoritmo de Odlyzko (um fator de ) com um algoritmo muito mais simples. $f(n) \leq O(\sqrt{n} \log n)$ $n^{o(1)}$

Acredito que o melhor limite incondicional no momento é devido a Baker, Harman e Pintz . Portanto, se você não assume nada, o algoritmo de Odlyzko vence o óbvio por aproximadamente um fator de . $\widetilde{O}(n^{0.525})$ $n^{0.025}$

— Noah Stephens-Davidowitz
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Esta resposta é incrível! Essas abordagens podem ser adaptadas para decidir se existem

primos no intervalo em que

é um número determinado? E qual é a complexidade nesse caso?

k

$k$

k

$k$

— Michael Wehar

@MichaelWehar Nice question. O algoritmo de Odlyzko definitivamente pode, pois seu algoritmo realmente calcula a função de contagem principal

. Para a abordagem que usa lacunas entre os números primos, eu não sou o cara certo para perguntar. Obviamente, isso requer limites em

, em vez de apenas

, e eu simplesmente não sei muito sobre isso. Talvez alguém mais saiba?

π (x) := \# primes below \leq x

$\pi(x) := \text{\# primes below $\leq x$}$

p_{n + k} - p_{n}

$p_{n+k}-p_n$

p_{n + 1} - p_{n}

$p_{n+1}-p_n$

— Noah Stephens-Davidowitz