Decidibilidade da inferência e verificação de tipo no MLTT

Na Teoria Intuicionista de Tipos: Parte Predicativa de Martin-Löf , está provado que a verificação de tipo é decidível, sujeita a letra em primeiro lugar, provando um teorema de normalização para termos tipificados fechados. Por outro lado, eu já vi escrito em vários lugares (Wikipedia, Nördstrom etc.) que a verificação de tipo no MLTT (intensional) é decidível; eles estão implicitamente restringindo a termos tipificáveis? $a \colon A$ $a$
Sabe-se algo sobre a decidibilidade da inferência ou verificação de tipo no MLTT intensional se não restringirmos os termos tipificáveis? Por exemplo, talvez exista um processo de decisão que reconheça termos não tipáveis, digamos, normalizando para um formulário que não corresponda a nenhum dos construtores, ou mostrando que não há uma sequência não periódica de reduções para qualquer termo não tipável.

Não pude encontrar muita coisa na literatura.

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— Josh Chen
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Respostas:

Certamente o problema de decisão

Dado um (pré-) termo Existe um tipo tal que é derivável no MLTT? $a$ $A$ $\vdash a :A$

Às vezes escrito (e chamado de problema de inferência de tipo ) é decidível, ou seja, não importa se é bem digitado ou não para obter uma resposta. De fato, todos os verificadores de prova baseados no MLTT implementam alguma versão desse algoritmo de decisão! $\vdash a\ :\ ?$ $a$

Obviamente, o problema em um contexto não-vazio ( ) É decidível, bem como, normalmente você precisa resolver o último para resolver o antigo. $\Gamma\vdash a\ :\ ?$

Isso deve responder às perguntas 1 e 2. O algoritmo não envolve a normalização de , o que em geral seria uma má notícia, pois é indecidível se um termo não digitado se normaliza para algo. No entanto, a verificação de tipo algoritmo que envolvem normalizando tipos , que são por construção bem-digitado si. $a$

Como resultado, a normalização de termos bem digitados é uma condição necessária para que o problema de inferência de tipo seja decidido.

Você pode consultar Nordström, Petersson e Smith para obter uma introdução.

Não conheço nenhuma descrição genérica de um algoritmo de inferência de tipos para normalizar teorias de tipos, embora Pollack dê uma boa visão geral (embora o estado da arte tenha melhorado) em Tipechecking em Pure Type Systems .

— cody
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E os pretipos (termos que denotam um tipo)? Pode valer a pena esclarecer o status deles também.

— Andrej Bauer

Obrigado, você está se referindo aos algoritmos de verificação de tipo implementados por assistentes de prova como ALF e Coq? Para meu entendimento, esses são algoritmos para as variantes específicas do MLTT nos quais eles se baseiam (CIC para Coq, outra coisa para ALF), mas não está claro para mim como eles podem ser usados para verificar o MLTT específico de '73. Em particular, se a hierarquia universo ou outras diferenças de pormenor que pode mudar alguma coisa ...

— Josh Chen

... Ou os algoritmos são gerais o suficiente para cobrir essas diferenças? Estou tendo problemas para encontrar resultados em tal generalidade; tudo o que parece estar aparecendo na minha pesquisa bibliográfica são resultados muito específicos, geralmente particularmente adaptados à teoria subjacente de algum assistente de prova.

— Josh Chen

@ JoshChen, no geral, os algoritmos são muito genéricos, pois envolvem uma pesquisa direcionada por tipo, alternando com as etapas de normalização em termos bem digitados, como explicou Andrej. Infelizmente, não estou ciente de uma descrição genérica do algoritmo, apesar de adicionar uma referência parcial à minha resposta.

— Cody

@ JoshChen Eles não esclarecem, mas podem estar se referindo a tipos de dedução para termos "estilo curry", para os quais a inferência é indecidível. Entro

— cody

Gostaria de complementar a resposta por cody através de uma observação geral que transmita minha compreensão do porquê os algoritmos de verificação de tipo funcionam.

Para uma ampla classe de teorias de tipos, a verificação ou inferência de tipos é realizada de tal maneira que nunca tentamos normalizar um termo, a menos que tenhamos estabelecido previamente que ele é bem digitado. Da mesma forma, nunca tentamos normalizar um tipo, a menos que já tenhamos estabelecido que é um tipo. Por esse motivo, podemos ter certeza de que a normalização será encerrada (o que requer uma prova separada).

É preciso olhar para algoritmos específicos e ver se eles realmente funcionam dessa maneira, mas funcionam. Eu só queria dizer o que os faz funcionar. Ou melhor, é por isso que eles param de funcionar.

— Andrej Bauer
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