Número de 4 ciclos

Seja $C_4$ um ciclo com quatro vértices. Para um gráfico arbitrário $G$ com $n$ vértices e m arestas, diga $m>n\sqrt n$ , quantas$C_4$s existe? Existe um limite inferior para isso?

Sim, isso é conhecido. Para $d = \Omega(n^{1/2})$ com uma suficientemente grande constante implícito, qualquer $n$ gráfico -node de média grau $d$ tem $\Omega(d^4)$ total de $C_4$ s. Isso é melhor possível porque é realizado por um gráfico aleatório.

A referência mais antiga que conheço é "Gráficos supersaturados em cubos e problemas relacionados", de Erdos e Simonovits, onde é reivindicada sem provas. Existem muitas provas por aí, do topo da minha cabeça, veja o Lema 3 aqui .