É o complemento de {www | …} Sem contexto?

É sabido que o complemento de é livre de contexto. Mas e o complemento de ? $\{ ww \mid w\in \Sigma^*\}$ $\{ www \mid w\in \Sigma^*\}$

fl.formal-languages context-free

— domotorp
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Descobri que esse é o Teorema 4 em P. Dömösi, S. Horváth, M. Ito, L. Kászonyi, M. Katsura: Linguagens formais que consistem em palavras primitivas. link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-57163-9_15 #

— domotorp

Respostas:

Ainda CFL eu acredito, com uma adaptação da prova clássica. Aqui está um esboço.

Considere $L = \{xyz : |x|=|y|=|z| \land (x \neq y \lor y \neq z)\}$ , que é o complemento de $\{www\}$ , com as palavras de comprimento não $0$ mod $3$ removidas.

Seja $L' = \{uv : |u| \equiv_3 |v| \equiv_3 0 \land u_{2|u|/3} \neq v_{|v|/3}\}$ . Claramente, $L'$ é CFL, já que você pode adivinhar uma posição $p$ considerar que $u$ termina $p/2$ depois disso. Mostramos que $L = L'$ .

$L \subseteq L'$ : Let $w = xyz \in L$ . Suponha que exista um $p$ tal que $x_p \neq y_p$ . Em seguida, escreva $u$ para os $3p/2$ primeiros caracteres de $w$ , e $v$ para o resto. Naturalmente, $u_{2|u|/3} = x_p$ . Agora o que é $v_{|v|/3}$ ? Primeiro:

| v | / 3 = (| w | - 3 p / 2) / 3 = | w | / 3 - p / 2.

$|v|/3 = (|w| - 3p/2)/3 = |w|/3 - p/2.$

Portanto, em $w$ , esta é a posição:

| u | + | v | / 3 = 3 p / 2 + | w | / 3 - p / 2 = | w | / 3 + p,

$|u|+|v|/3 = 3p/2 + |w|/3 - p/2 = |w|/3 + p,$ ou, em outras palavras, posição

p

$p$ em

y

$y$ . Isso mostra que

u_{2 | u | / 3} = x_{p} \neq y_{p} = v_{| v | / 3}

$u_{2|u|/3} = x_p \neq y_p = v_{|v|/3}$ .

Se $y_p \neq z_p$ , então $u$ seja o primeiro ${3\over2}(|w|/3 + p)$ caracteres de $w$ , de modo que $u_{2|u|/3}$ é $y_p$ ; $v$ é o resto de $w$ . Então:

| u | + | v | / 3 = 2 | w | / 3 + p

$|u| + |v|/3 = 2|w|/3 + p$ portanto, da mesma forma,

v_{| v | / 3} = z_{p}

$v_{|v|/3} = z_p$ .

$L' \subseteq L$ : Invertemos o processo anterior. Seja $w = uv \in L'$ . Escreva $p = 2|u|/3$ . Então: $p + | w | / 3 = 2 | u | / 3 + | u v | / 3 = | u | + | v | / 3.$ $p+|w|/3 = 2|u|/3+|uv|/3 = |u| + |v|/3.$ Assim, $w_p = u_{2|u|/3} \neq v_{|v|/3} = w_{p + |w|/3}$ e $w \in L$ (desde que $w$ tenha a forma $xxx$ , ele deve sustentar que $w_p = w_{p+|w|/3}$ para todos os $p$ ).

— Michaël Cadilhac
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Uau, incrível! Não afirmo que segui todos os detalhes do seu argumento, como se não entendesse o que você quer dizer com a última linha ('For the last bit'), ou por que você não separa o caso quando

, mas sua solução funciona eventualmente. Eu resumiria o truque principal como

. O truque semelhante também funciona para o complemento de qualquer

| w | / 3 < p / 2

$|w|/3<p/2$

3 a + 3 b = 2 a + (b - a) + 2 a + 2 b

$3a+3b=2a+(b-a)+2a+2b$

. Gostaria de saber se

é livre de contexto ou não.

L_{r} = {w^{r}}

$L_r=\{w^r\}$

L^{'} = {x y z : | x | = | y | = | z | \land (x \neq y)}

$L' = \{xyz : |x|=|y|=|z| \land (x \neq y)\}$

— Domotorp 13/01/19

@domotorp: Saúde! Tudo bem, "o último pedaço" foi desnecessário, obrigado! Quanto ao "caso em que

", não sei ao certo onde você quer dizer isso. Perdi algo? Quanto ao seu

, eu me perguntava o mesmo fazendo essa "prova"! Ainda não tenho certeza :)

| w | / 3 < p / 2

$|w|/3 < p/2$

L^{'}

$L'$

— Michaël Cadilhac

Oh, meu mal,

sempre vale!

p / 2 \leq | w | / 3

$p/2\le |w|/3$

— domotorp

Provavelmente não é um problema, mas

pode ser estranho, então você deve lidar com os casos

Quando

é ímpar.

p

$p$

| u | = 3 p / 2 (?)

$|u| = 3p/2 (?)$

p

$p$

— Marzio De Biasi

@MarzioDeBiasi: Sim, isso é precisamente por isso que este é um esboço :-)

— Michaël Cadilhac

Aqui está a maneira como penso em resolver esse problema, com um PDA. Na minha opinião, é intuitivamente mais claro.

Uma palavra $x$ não tem a forma $www$ se (i) $|x| \not\equiv 0$ (mod 3), que é fácil de verificar, ou (ii) existe algum símbolo de entrada $a$ que difere do símbolo correspondente $b$ que ocorre $|w|$ posições mais tarde.

Usamos o truque usual de usar a pilha para manter um número inteiro $t$ , tendo um novo símbolo "parte inferior da pilha" $Z$ , armazenando o valor absoluto $|t|$ como o número de contadores na pilha e sgn ( $t$ ) pelo estado do PDA. Assim, podemos incrementar ou diminuir $t$ fazendo a operação apropriada.

O objetivo é usar o não determinismo para adivinhar as posições dos dois símbolos que você está comparando e usar a pilha para registrar $t := |x|-3d$ , onde $d$ é a distância entre esses dois símbolos.

Realizamos isso da seguinte maneira: incremente $t$ para cada símbolo visto até que o primeiro símbolo adivinhado $a$ seja escolhido e registre $a$ no estado. Para cada símbolo de entrada subsequente, até você decidir que viu $b$ , diminua $t$ em $2$ ( $1$ para o comprimento da entrada e $-3$ para a distância). Adivinhe a posição do segundo símbolo $b$ registre se $a \not= b$ . Continue incrementando $t$ para os símbolos de entrada subsequentes. Aceite se $t = 0$ (detectável por $Z$ na parte superior) e $a \not= b$ .

O bom disso é que deve ficar completamente claro como estender isso a poderes arbitrários.

— Jeffrey Shallit
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De fato, muito arrumado!

— domotorp 21/01/19

Ah, muito melhor :-)

— Michaël Cadilhac:

Apenas uma perspectiva diferente ("orientada para a gramática") para provar que o complemento de $\{ w^k \}$ é CF para qualquer $k$ fixo usando propriedades de fechamento.

Primeira nota que no complemento de $\{ w^k \}$ sempre existe $i$ tal que $w_i \neq w_{i+1}$ . Focamos em $w_1 \neq w_2$ e começamos com uma gramática simples de CF que gera:

$L = \{\underbrace{a00...0}_{w_1} \; \underbrace{b00...0}_{w_2} ... \underbrace{000...0}_{w_k} \mid |w_i|=n \} = \{ a 0^{n-1} \, b 0^{n(k-1)-1} \}$

Por exemplo, para $k = 3$ , temos $L = \{ a\,b\,0, a0\,b0\,00, a00\,b00\,000, ...\}$ , $G_L = \{ S \to ab0 | aX00, X \to 0X00 | 0b0 \}$

Em seguida, aplique o fechamento sob homomorfismo inverso e união :

Primeiro homomorfismo: $\varphi(1) \to a, \varphi(0) \to b, \varphi(1)\to 0, \varphi(0) \to 0$

Segundo homomorphism: $\varphi'(0) \to a, \varphi'(1) \to b, \varphi'(1)\to 0, \varphi'(0) \to 0$

$L' = \varphi^{-1}(L) \cup \varphi'^{-1}(L)$ ainda está livre de contexto

Aplique o fechamento sob turnos cíclicos em $L'$ para obter o conjunto de cadeias de comprimento $kn$ não da forma $w^k$ :

$L'' = Shift(L') = \{ u \mid u \neq w^k \land |u| = kn \}$ .

Por fim, adicione o conjunto regular de strings cujo comprimento não é divisível por $k$ para obter exatamente o complemento de $\{w^k\}$ :

$L'' \cup \{\{0,1\}^n\mid n \bmod k \neq 0\} = \{ u \mid u \neq w^k\}$

— Marzio De Biasi
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